泰勒公式的理解--采集於知乎

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前言：

（1）理解好麥克勞林公式，就可以理解好泰勒公式

（2）任何一個復雜函數都可以用一個合適的多項式函數去近似表示。

（3）如何找到一個合適的多項式函數，在於能夠構造一個與原函數每個階級的導數值相等。比如原函數n階可導，構造函數也必須n階可導，並且每個階級在X0的導數值必須相等。

（4）對（3）解釋，因為導數的意義是刻畫函數的變化程度，如果構造函數與原函數的初始值一致且變化程度一致，那么構造函數就等於原函數。

（5）對（4）解釋，事實上（4）的說法是理想狀態下的，實際情況下只能無限逼近。

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1. 麥克勞林公式

對於一些復雜的函數, 要研究其性質往往是比較困難的. 而多項式函數的性質往往比較簡單, 所以有時候, 為了方便研究, 我們可能會想着: 能不能用一個多項式函數去近似一個復雜的函數?

比如說, 現在我們想在點0附近, 用一個多項式函數, 去近似一個復雜函數 , 那我們應該怎么做呢?

我們知道當x=0時, , 所以不妨拿一個"當x=0時, y值也為1的函數"來近似試試, 比如說: y = 1

綠色的線是e^x, 藍色的線是y = 1, 下同

可以看到, 在x=0這一點上, 兩個函數的值都是1, 但在x=0的鄰域, 這兩個函數的圖像一點都不相似, 所以這個近似效果一般...

那如何讓近似效果更好一些呢, 可以想到, 不妨用導數試試. 導數可以反應函數在某一點的變化率, 如果兩個函數在x=0處, 除了y值相同, 變化率也相同, 那兩個函數應該會更相似一些.

, 當x=0時, 的導數為1

所以我們需要近似函數在x=0處的導數也為1, 比如說這個函數: y = 1 + x, 其導數y'等於常數1, 在x=0處的導數自然也為1

現在: 原始函數 , 近似函數y = 1 + x, 這兩個函數在x=0處, 除了y值相同, 導數也相同. 我們來看看這兩個函數的圖像

兩個函數的圖像更接近了, 看來這個思路是正確的, 那沿着這個思路, 如果讓近似函數在x=0處的二階導, 和在x=0處的二階導也相同呢...即在x=0處, 兩個函數變化率的變化率也相同...

所以 在x=0處的二階導也為1

那么我們選定近似函數:

近似函數在x=0時, y=1,

近似函數的一階導為1+x, 當x=0時, 一階導為1,

近似函數的二階導為常數1, 當x=0時, 二階導也為1,

這些值和 在x=0處的y值, 一階導, 二階導的值是相同的, 來看看兩個函數的圖像

更相近了...

然后我們按照這個思路, 來試試三階導

讓近似函數在x=0處的y值, 一階導, 二階導, 三階導的值 = 在x=0處的y值, 一階導, 二階導, 三階導的值

比如近似函數為: (這個函數是滿足上述條件的, 這里就不驗證了)

看一下圖像:

更相近了..

再來看幾張:

四階導相同

 

五階導相同

 

十階導相同, 近似函數和原始函數n階導相同, n越大, 近似程度越高

 

按這個思想, 假設原始函數在x = 0處n階可導(比如 在x=0處就是n階可導)

如果讓近似函數在x=0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導的值 = 在x=0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導的值. 則可以推測此時兩個函數的圖像應該會很相似, 或者說近似函數對原始函數的近似效果應該會很好, 事實也確實如此.

麥克勞林公式(麥克勞林公式就是x0=0時的泰勒公式, 后面會具體講泰勒公式)就是在描述: 如何找到滿足上述條件的近似多項式函數, 寫成公式大概是:

左側是原始函數, 右側是近似多項式函數

而兩者之間的關系只是約等於, 或者說是近似. 實際上, 完整的麥克勞林公式是這樣的:

后面的 是佩亞諾余項, 加上這個佩亞諾余項, 左右就相等了

麥克勞林公式的含義就是: 如何在x=0附近, 用一個多項式函數(等號右側的函數), 去近似一個復雜函數(等號左側的函數)

(這里稍微說一下佩亞諾余項: 在麥克勞林公式中, 佩亞諾余項 是個當x→0時比高階的無窮小, 這也就說明, 在x=0附近, 用麥克勞林公式產生的多項式函數(不含余項部分)去近似原始函數時, x離0越近的地方, 近似的誤差越小, 近似效果越好, x離0越遠的地方, 近似的誤差越大, 近似效果越壞)

 

2. 為什么麥克勞林公式會是這種形式

麥克勞林公式:

為什么等號右側的多項式(不含最后的余項)要寫成這種形式呢? 其實理論上, 右側的多項式也可以寫成別的形式, 其本質只是為了滿足下面這個條件:

讓右側多項式函數在x=0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導的值 = 被近似函數在x=0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導

這里的多項式

只是滿足這個條件的一種形式. 如果還有別的形式的函數可以滿足這個條件, 它也可以替換掉麥克勞林公式中的的多項式部分.

這里引用下"各向異性角點解"同學的一段話:

泰勒展開(或者說麥克勞林公式)並不是唯一的，因為任何在對應階求導后能夠消失並只留下導數值的函數，都可以作為泰勒展開的備胎。可惜的是，冪函數與階乘的組合，是我們已知的唯一具有上述性質的函數，因此，這種唯一性決定了泰勒展開能夠且僅能夠由冪函數表示。

 

3. 泰勒公式

麥克勞林公式只是泰勒公式在x0=0時的特殊情況, 現在拋開x0=0, 讓x0可以是函數定義域中的任意值(只要在x0處n階可導就行), 就變成了泰勒公式

理解了麥克勞林公式, 很快就能理解泰勒公式了: 泰勒公式用於在x0附近, 用一個多項式函數(等號右側的函數), 去近似一個復雜函數(等號左側的函數)

 

4. 總結

I. 泰勒公式的作用是描述如何在x0點附近, 用一個多項式函數去近似一個復雜函數.

II. 之所以能實現這種近似, 背后的邏輯是:

讓近似多項式函數在x=x0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導的值 = 原始函數在x=x0處的y值, 一階導, 二階導 ...n階導

即, 如果函數A和函數B在某一點的值一樣, 變化率一樣, 變化率的變化率一樣, 變化率的變化率的變化率也一樣...

就這樣層層深入, 無論深入到哪一個維度, 關於這一點的變化率, 函數A和函數B都是一樣的, 那就可以推斷:

在這一點上, 函數A和B應該是一樣的

在這一點附近, 函數A和B應該很相似

離這一點越遠, 函數A和B的相似程度就越難以保證

...

 

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最后需要說明的是, 這篇答案更多的是: 在默認泰勒公式正確性的前提下, 告訴大家如何去"直觀感受"這種正確性, 去理解這么長的一串公式背后所表達的簡單含義, 並粗略地理解公式成立的大體原因. 至於泰勒公式究竟是如何推導出來的, 其背后經過了怎樣地嚴格證明, 這里並沒有真正提及, 這些內容需要大家去查閱更多的資料, 進行深入的理解...