y=arctanx,則x=tany
arctanx′bai=1／tany′
tany′=(siny/cosy)′=（cosycosy-siny(-siny）)/cos²y=1/cos²y
則arctanx′=cos²y=cos²y/（sin²y+cos²y）=1/（1+tan²y）=1/1+x²
故最終答案是1/（1+x²）
這一步求出了y=arctanx的導數，要求其冪級數可以觀察1/（1+x²）可以展開為冪級數。故應當展開1/（1+x²）。
或者這樣：
再來看剛好在收斂半徑上的點：
當然可以利用高階導數開進行泰勒展開：
附上完整版：
1、arctanx 的麥克勞林級數展開式，必須分三段考慮：
-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞
2、分成zhi三段的原因是：
A、在展開過程中，必須先求導，再積分；
B、在求導跟積分之間，必須運用公比小於1的無窮等比數列求和公式；
C、運用等比求和公式時，必須考慮收斂與否，因此必須分成兩部分：
|x| < 1、|x| ≥ 1；
D、在 |x| ≥ 1 時，有必須考慮積分的下限問題，因此還得再分為二。
