微積分奇觀之計算曲線的平均高度

下圖是某地的氣溫變化圖，

我們一般所說的平均氣溫實際上只是取幾個時刻的氣溫值后求其平均而已，但准確來講是不是應該將給定時段內所有的（無數個）氣溫值的平均值給計算出來才算得上是平均氣溫的准確值呢？這就引入了本文所要解決的問題——把連續曲線上所有點的高度的平均值（平均高度）給求出來，其中曲線上各點的高度規定為該處的函數值。乍看之下這好像是個不可能的任務，因為曲線上無數個點對應的無限多個高度我們是加不過來的，更別提用總和除以總數來計算平均高度了——不得不承認這個事實，但如果換成有限多個高度，那么其平均值自然是可以求出來的，本文就將從此入手來求出這無限多個高度的平均值。

在上圖中將[a,b]等分成n個小區間，也即在[a,b]上等距離地取n+1個不同的點x_i，即

a = x₀ < x₁ < x₂ < ⋯ < x_i − 1 < x_i < ⋯ < x_n = b （其中i = 1, 2, …, n）

相鄰兩個分點構成的區間[x_i − 1, x_i]的長度是$\frac{b - a}{n}$，

¹

當n足夠大的時候，每個這種小區間的長度就會足夠小，以至於小區間內任意一點ξ_i對應的函數值f(ξ_i)和里面其它x對應的函數值的差別也就不會很大，這時就可用f(ξ_i)來代表該小區間內點的高度，當n越大，f(ξ_i)就越能代表該小區間內點的高度，我們就定在不斷等分過程中這n個點的平均高度的極限

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{f\left( \xi_{1} \right) + f\left( \xi_{2} \right) + \cdots + f\left( \xi_{n} \right)}{n}$$

為連續曲線f(x)於[a,b]上所有點的平均高度。又因為連續曲線f(x)於[a,b]上構成的曲邊梯形面積是

$$\begin{matrix} \lim_{\lambda \rightarrow 0}\left( f\left( \xi_{1} \right)\text{Δx} + f\left( \xi_{2} \right)\text{Δx} + \cdots + f\left( \xi_{n} \right)\text{Δx} \right) = \lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right)\text{Δx} = S}} \\ \end{matrix}$$

其中Δx是每個小區間的長度$\frac{b - a}{n}$，借助這個條件上述平均高度可以有進一步的計算結果²，

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\xi_{1}\right)+f\left(\xi_{2}\right)+\cdots+f\left(\xi_{n}\right)}{n}&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\xi_{1}\right) \Delta x+f\left(\xi_{2}\right) \Delta x+\cdots+f\left(\xi_{n}\right) \Delta x}{n \Delta x}\\&=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\xi_{1}\right) \Delta x+f\left(\xi_{2}\right) \Delta x+\cdots+f\left(\xi_{n}\right) \Delta x\right)}{\lim _{n \rightarrow \infty}(n \Delta x)}\\&=\frac{S}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \times \frac{b-a}{n}\right)}\\&=\frac{S}{b-a}\end{aligned}}}$$

S是曲邊梯形的面積，而b − a是曲邊梯形的底邊長度，所以求出來的連續曲線f(x)於[a,b]上所有點的平均高度$\frac{S}{b - a}$就相當於是與曲邊梯形面積相等且共底的矩形的高度。

下面舉三個例子來看看這個方法求出來的連續曲線上所有點的平均高度與我們的直覺的關系：

1. 常數函數c於[a,b]上所有點的平均高度顯然是$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{f(\xi_{1}) + f(\xi_{2}) + \cdots + f(\xi_{n})}{n} = c$，這與我們的直覺一致；

2. y=2x於[1,5]上的所有點的平均高度

   

   從直觀上來看我們極有可能認為這個平均高度是$\frac{左端點的高度 + 右端點的高度}{2} = \frac{2 \times 1 + 2 \times 5}{2} = 6$，用我們計算平均高度的方法得到這個值等於梯形的面積$\frac{(2 + 10) \cdot 4}{2} = 24$除以區間[1,5]的長度4結果是$6 = \frac{24}{4}$，也和我們的直覺一致；

3. 我們可能會從直覺上認為$\frac{1}{4}$圓的圖像於第一象限內所有點的平均高度是$\frac{1}{2}$，

   

   但根據我們上面的方法其平均高度是$\frac{\int_{0}^{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\text{dx}}}{1} = \int_{0}^{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\text{dx}} = \frac{\pi}{4} \approx 0.79 > \frac{1}{2}$，那么我們的直覺錯在哪里呢？$y = \sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$時，$x = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 87\%$，所以$\sqrt{1 - x^{2}}$於[0,$\ \frac{\sqrt{3}}{2}$]的圖像上每個點的高度都大於等於$\frac{1}{2}$，這大約占了函數圖像的87%，但我們還認為整個（100%）函數圖像上所有點的高度是$\frac{1}{2}$，這就低估了這個平均高度了。

所以上述求連續曲線上所有點的平均高度的方法有符合直覺的地方，有時雖不符合直覺但也有其合理性。最后，通過本文的方法我們把坐標系上一條連續曲線的平均高度給計算出來了，這是不是很不可思議呢？

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1. 由於本人不擅長數學繪圖，所以本動圖和情景有點不太符合，有能力者可聯系我一起出更好的圖↩

2. Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p141↩