FWT (快速沃爾什變換)詳解 以及 K進制FWT
約定：\(F'=FWT(F)\)
卷積的問題，事實上就是要構造\(F'G'=(FG)'\)
我們常見的卷積，是二進制位上的or ,and ,xor
但正式來說，是集合冪指數 上的 並 ， 交 ， 對稱差
為了說人話，這里就不帶入集合冪指數的概念了
一個常識：\(\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}=[S=\empty]\)
or 和 and 卷積
ps: 雖然這兩個並不是\(\text{FWT}\)，應該叫\(\text{FMT}\)(快速莫比烏斯變換)，但是由於常用的是這3個，所以放到一起
這兩種卷積的本質是相同的，所以只解釋\(or\)卷積
or卷積的本質就是高位前綴和
即:\(F'_S=\sum _{T\sube S}F_T\)
正確性：
即\(\forall S,F'_S \cdot G'_S=(F\cup G)'_S\)
左邊=
\(F'_S \cdot G'_S=\sum _{T\sube S}\sum _{R\sube S}F_T\cdot G_R\)
右邊=
\((F\cup G)'_S=\sum_{T\sube S}(F \cup G)_S\)
\(=\sum_{T\sube S}\sum_{A,B,A\cup B=S}F_A\cdot G_B\)
\(=\sum_{T \sube S}\sum_{R \sube S}F_T \cdot G_R\)
卷積實現
其實第一次層循環的意思是枚舉子集中和自己不同的位最高是\(i\)
讓\(0\)向\(1\)轉移即可
void FWT(int n,ll *a){
for(int i=1;i<n;i<<=1)
rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a){
for(int i=1;i<n;i<<1)
for(int l=0;l<n;l+=i*2)
for(int j=0;j<l+i;++j)
s[j+i]+=s[j];
}
Tips:如果要卡常，可以寫成類似\(\text{FFT}\)的形式，因為優化了訪問順序會快一些
實現逆卷積
把上面的加換成減，這是一個類似容斥的東西
但是因為是反解，所以這個過程我么通常稱為子集反演
那么每次\(0\)向\(1\)的轉移意味着多了一個不同的位置
設\(F'_S=\sum_{T\sube S}F_T\)
實際逆卷積就是\(F_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T\oplus S|} F'_S\)
證明如下：
\(\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T\oplus S|} \sum _{R\in T}F_R\)
\(\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}F_R\sum _{T\sube R,R\sube S}(-1)^{|S\oplus R|}\)
\(\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}F_R\sum _{R\sube (S\oplus T)}(-1)^{|R|}\)
帶入上面所提到的\(\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}=[S=\empty]\)，成立
void FWT(int n,ll *a,int f){
for(int i=1;i<n;i<<=1)
rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=f*s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
for(int i=1;i<n;i<<1)
for(int l=0;l<n;l+=i*2)
for(int j=0;j<l+i;++j)
s[j+i]+=f*s[j];
}
應用 : 子集卷積(可以看luogu)
問題描述： 給定\(F_S,G_T\)，求出\(H_{R}=\sum_{S\cup T=R,S\cap T=\empty}F_S\cdot G_T\)，設有\(2^n\)個元素
我們知道直接枚舉的復雜度為\(O(3^n)\)
直接應用or卷積無法保證\(S\cap T=\empty\)，但是可以再記錄一個占位數量，即把\(F,G\)按照每一位包含1的數量分開成\(n+1\)部分，卷積完成之后
應該滿足1的個數恰好為兩者之和，否則清空
需要\(n\)次卷積，\(n^2\)次轉移，因此復雜度為\(O(n^22^n)\)，在漸進意義上更優於\(O(3^n)\)
Xor 卷積
這里要用到一個小性質
\(|A\cap B|+|A\cap C|\equiv |A\cap (B\bigoplus C)| \pmod 2\)
思路介紹：
我們是要構造一個\(F_S\rightarrow G_T\)的變換，使得該變換滿足Xor的性質，且能在較優的時間復雜度內完成，並且能夠在較優的時間內完成反演
由於上面的這條式子，考慮可以構造\(F'_S=\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}F_T\)，這樣\((-1)^k\)的系數在\(\mod 2\)意義下可以抵消
正確性
即\(\forall S,F'_S \cdot G'_S=(F\bigoplus G)'_S\)
\(F'_S\cdot G'_S=\sum_{T} \sum_{R}(-1)^{|S\cap T|+|S\cap R|}F_T\cdot G_R\)
\(=\sum _T\sum _R(-1)^{|(T\bigoplus R)\cap S|}F_T\cdot G_R\)
顯然這個式子與右邊相同
卷積實現
考慮和前面相同的方法，枚舉二進制位上最高的\(1\)
之前由於轉移是單向的，所以只需要一次加法，這里由於有了系數同時還是雙向的轉移，所以要格外注意
轉移系數也是比較明顯的
\(0\rightarrow 0 = 1\)
\(0\rightarrow 1 = 1\)
\(1\rightarrow 0 = 1\)
\(1\rightarrow 1 = -1\)
void FWT(int n,ll *a){
for(int i=1;i<n;i<<=1) {
rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
ll t=a[j+i];
a[j+i]=a[j]-t;
a[j]=a[j]+t;
}
}
}
void FWT(int n,ll *a){
for(int i=1;i<n;i<<=1){
for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
for(int j=l;j<l+i;++j){
ll t=a[j+i];
a[j+i]=a[j]-t;
a[j]+=t;
}
}
}
}
實現逆卷積
考慮再卷一次
\(F''_S=\sum_T\sum_R(-1)^{|S\cap R|+|T\cap R|}F_T\)
\(=\sum_T \sum_R (-1)^{|(S\bigoplus T)\cap R|}F_T\)
\(\because \sum_T (-1)^{|S\cap T|}=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}2^{|U|-|S|}=[S=\empty]2^{|U|-|S|}\)(其中\(U\)是全集)
\(\therefore F''_S=\sum_S2^{|U|}F_S\)
所以逆卷積就是再卷一遍，最后除去\(n\)即可
void FWT(int n,ll *a,int f){
for(int i=1;i<n;i<<=1) {
rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
ll t=a[j+i];
a[j+i]=a[j]-t;
a[j]=a[j]+t;
}
}
if(f==-1) rep(i,0,n-1) a[i]/=n;
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
for(int i=1;i<n;i<<=1){
for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
for(int j=l;j<l+i;++j){
ll t=a[j+i];
a[j+i]=a[j]-t;
a[j]+=t;
}
}
}
if(f==-1) for(int i=0;i<n;++i) a[i]/=n;
}
和上面一樣的，可以寫成類似\(\text{FFT}\)的形式卡常
拓展 K - FWT
實際上學習了這個拓展能讓你更好地理解\(\text{FWT}\)
不妨考慮\(n\)個維度的情況，每個維度是一個\(0,1,\cdots k-1\)中的數
由於\(k\)進制下不好用集合描述，因此考慮用一個向量\(\vec{V}=\lbrace V_0,V_1,\cdots,V_{n-1}\rbrace,V_i\in[0,k-1]\)表示
一個多項式可以具象地用\(0,1,\cdots,k^n-1\)這個\(k^n\)個位置上的系數表示
\(\text{and,or}\)卷積在\(k\)進制下可以拓展為按位取\(\min,\max\)，這個直接累前綴和就可以了，不作贅述
而\(k\)進制下的\(\text{xor}\)可以擴展為兩個向量列的取模加法
\(\vec{A}+\vec{B}=\vec{C},C_i=(A_i+B_i)\bmod k\)
也可以描述為不進位的\(k\)進制數加法
其實用\(\text{K-FWT}\)稱呼這個似乎不是很形象，更好的可以稱之為\(\text{n-DFT}\)
也就是說\(\text{K-FWT}\)實際上就是在\(n\)個維度上分別做大小為\(k\)的循環卷積，使用一種結合\(\text{FWT-DFT}\)的方法(因此需要用到\(k\)次單位根\(\omega_k\))
卷積構造
原多項式\(F\)向卷積多項式\(F'\)的轉換系數為\([x^A]F\rightarrow [x^B]F':\omega_k^{A\cdot B}\)
其中\(A\cdot B\)為向量內積，即\(\sum A_i\cdot B_i\)
從中也可以很好地看到\(\text{xor}\)卷積的影子
實現方法上，可以依次枚舉\(0,1,\cdots,n-1\)每一位，將除了這一位上都相同的數取出來
按照這一位上的值做一次\(\text{DFT}\)
需要\(n\)位枚舉，每次枚舉需要做\(k^{n-1}\)次\(k^2\)的\(\text{DFT}\)，因而復雜度為\(O(nk^{n+1})\)
對於\(k\)比較大的情況，如果\(k=2^t\)可以直接用\(\text{FFT/NTT}\)，否則還可以參考這個
可以優化到\(O(nk^n\log k)\)
逆卷積
當然是換成\(\text{IDFT}\)，最后全部除掉\(k^n\)
正確性上，如果你對於\(\text{IDFT}\)的原理(單位根反演) 有所了解，就能發現
只有所有位置上都相同的情況才會轉移出\(k^n\)的系數
int w[20]; // 單位根的冪次
void K_FWT(int *F,int n,int f){ // 這個n實際上是上面敘述中的n^k
static int t[20];
for(int i=1;i<n;i*=k){
for(int l=0;l<n;l+=i*k){
for(int j=l;j<l+i;++j){
for(int a=0;a<k;++a)
for(int b=t[a]=0;b<k;++b)
t[a]=(t[a]+1ll*F[j+b*i]%P*w[b*(k+f*a)%k])%P;
for(reg int a=0;a<k;++a) F[j+a*i]=t[a];
}
}
}
if(f==-1) {
ll base=qpow(n);
rep(i,0,n-1) F[i]=F[i]*base%P;
}
}