最近在學FWT，抽點時間出來把這個算法總結一下。
快速沃爾什變換（Fast Walsh-Hadamard Transform），簡稱FWT。是快速完成集合卷積運算的一種算法。
主要功能是求：
，其中
為集合運算符。
就像FFT一樣，FWT是對數組的一種變換，我們稱數組X的變換為FWT(X)。
所以FWT的核心思想是：
為了求得C=A★B，我們瞎搞搞出一個變換FWT(X)，
使得FWT(C)=FWT(A) 
FWT(B)，然后根據FWT(C)求得C。
（其中★表示卷積運算，
表示將數組對應下標的數相乘的運算）
也就是說我們可以通過FWT(X)變換把復雜度O(n^2)的★運算變為O(n)的
運算。
跟FFT是完全相同的。所以我們考慮怎么搞出這個FWT(X)。
與運算(&)和或運算(|)最容易理解，我們先講講這兩個怎么搞。我們以或運算為例。
若 x | y = z，那么x和y一定滿足二進制中的1為z的子集。
所以我們可以令FWT(A)=A'，其中
。（“i | j = i”就是表示“j滿足二進制中的1為i的子集”）
（雖然以上兩行根本構不成邏輯，但是請相信這個定義就是正確的）
於是我們就有C'=A' 
B'，從這些數組的定義來看，這個式子確實是正確的。
然后我們就要研究一下FWT(A)也就是A'怎么求。當然不能枚舉 i 的子集，這樣復雜度太高。
既然是二進制的，我們不妨考慮用分治進行計算。（為毛是二進制就要用分治啊喂！）
我們設A0為A的前一半，A1為A的后一半，如果A的長度為2^k，那么A0、A1的長度為2^(k-1)。
如果我們知道了FWT(A0)和FWT(A1)，那么FWT(A)是不是就可以求了呢？當然可以。
FWT(A)的前一半相當於二進制位的第k位填了0，那么是它子集的仍然只有FWT(A0) （它本身）；
FWT(A)的后一半相當於二進制位的第k位填了1，那么是它子集的不僅僅有FWT(A1) （它本身），還有FWT(A0)。
那么轉移就出來了，
。
其中merge(X,Y)為X和Y兩個數組接在一起， 
表示將數組對應下標的數相加的運算。
這樣我們就在O(2^k*k)也就是O(nlogn)的時間內求出了FWT(A)。
還有一個問題，我們怎么通過FWT(C)求得C？
這不就是FWT()的逆變換嗎？根據轉移方程，你難道不會倒着推回來嗎？
這其實就相當於你知道了A0'、A1'，然后要求得A0、A1。
因為我們已經知道了A0'=A0，A1'=A1+A0，所以我們就有A0=A0'，A1=A1'-A0'。
所以：
。
既然知道了或運算，與運算也是一樣的，因為與運算和或運算本質是相同的。
讀者可以試着自己推一遍，再繼續往下看：
然后就是鬼畜的異或，先說結論：
一種比較靠譜的說法是
，其中d(x)為x的二進制中1的個數。
先想一想再往下看吧~
然后你可能會想，與和或本質上不是相同的嗎？
然后就有
，其中d'(x)為x的二進制（到第k位為止）中0的個數。
然后就有
，
。
然后結果是一毛一樣的。
（其實就是把整個數組倒過來而已）
所以又回到FWT的核心思想：
為了求得C=A★B，我們瞎搞搞出一個變換FWT(X)，
使得FWT(C)=FWT(A) FWT(B)，然后根據FWT(C)求得C。
所以我們只要找到運算中，數字x的一個特征FWT(x)，滿足FWT(x y)=FWT(x)*FWT(y)。這個特征就是FWT啦~
怎么樣，是不是給你一種“我上我也行”的感覺？
然后你試圖尋求異或FWT的更簡單的公式：
然后你開始腦補：
。
然后驚喜地發現正好滿足 FWT(C)=FWT(A) FWT(B) ！
然后你開始寫轉移公式：
（以上18行都是小C在口胡）
到底有沒有靠譜的做法呢？小D說他有一種解方程的做法。
為了不失一般性，假設A、B、C數組的長度為2。C=A★B，為異或卷積運算。
然后顯然C[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[1] ， C[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[0]。
然后我們開始變形了！由於(我們猜想)FWT(A)一定是a*FWT(A0) + b*FWT(A1)的形式，所以：
設A'[0] = a*A[0] + b*A[1]，A'[1] = c*A[0] + d*A[1]。
B和C同理，因為小C知道列一大堆方程出來肯定沒人看所以小C就不列出來了。
然后就有C'[0] = A'[0]*B'[0]。解方程，得：
因為a,b不同時等於0，所以a=1，b=±1。同理，c=1，d=±1。
（由於解方程過程中有很多槽點所以小C也不能保證正確性）
然后究竟是+1還是-1呢？小D給的說法是“枚舉，check一下”。
check個鬼啊(╯‵□′)╯︵┻━┻！這個做法槽點真的太多了好嗎？
不過能夠得出正確答案是真的。