上次的博客有點模糊的說...我把思路和算法實現說一說吧...
思路
關於快速沃爾什變換，為了方便起見，我們采用線性變換（非線性變換不會搞）。
那么，就會有一個變化前各數值在變換后各處的系數，即前一篇博文中的$f(i,j)$，表示線性變換中第$i$項到第$j$項的系數。
即
$$DWT(A)_i = \sum_{j=0}^{n-1} A_j * f(i,j)$$
那么，我們既然要求$\oplus$卷積在變換后等價於乘積，就有
$$DWT(A)_i * DWT(B)_i = DWT(C)_i$$
其中$C$是$A,B$的$\oplus$卷積。
那么，將線性變換式及卷積定義代入，並令對應項系數相等，就可得到結論：
$$f(i, j) * f(i, k) = f(i, j \oplus k)$$
那么，通過構造合適的$f(i,j)$，就可得出變換。
$f$函數的構造
我們以異或為例（因為這時最麻煩的）。
既然是位運算，那么我們就從位運算入手。
考慮位運算，我們只需要考慮一位的情況，對於多位運算需要將每位的結果相乘（注意是相乘，這很重要！）。
通過定義，我們得到
$$f(i, 0) * f(i, j) = f(i, 0 \oplus j) = f(i, j)$$
$$f(i, 1) * f(i, 1) = f(i, 0)$$
又由於我們不能使所有系數都相同，那么只能取
$$\begin{cases}
f(i, 0) &= 1\\
f(0, j) &= 1\\
f(1, 1) &= -1
\end{cases}$$
那么此時
$$DWT(a_0, a_1) = (a_0 + a_1, a_0 - a_1)$$
可以驗證其滿足規則。
算法實現：
要實現$FWT$，我們仿照快速傅里葉變換，首先將$A$分成兩半$A_0, A_1$（按二進制最高位，即直接取前一半和后一半）遞歸調用$FWT$，然后，
合並時，根據下面的式子（$i_0,i_1$分別表示$i$的最高位和剩余位）：
$$\begin{aligned}
DWT(A)_i &= \sum_{j=0}^{n-1} f(i, j)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i,j)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i,j)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_0,j_0)f(i_1,j_1)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,j_0)f(i_1,j_1)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_0,0)f(i_1,j_1)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,1)f(i_1,j_1)A_j\\
&= f(i_0, 0)\sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_1,j_1)A_j + f(i_1)\sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,1)f(i_1,j_1)A_j\\
&= f(i_0, 0)*DWT(A_0)_{i_1} + f(i_0, 1)*DWT(A_1)_{i_1}\end{aligned}$$
其中由第2行到第3行是因為我們對多位的$f$直接定義為各位的$f$相乘，即
$$f(i,j)=f(i_0,j_0)*f(i_1,j_1)$$
那么，算法實現就簡單多了。
FWT(A, len)
1 divide A into (A0, A1)
2 FWT(A0, len/2)
3 FWT(A1, len/2)
4 for i=0 to len/2
5 A[i]=f00*A0[i]+f01*A1[i]
6 A[i+len/2]=f10*A0[i]+f11*A1[i]
關於逆變換嘛。。。你只需要告訴自己：我只是要處理剛被$FWT$變換過的數組，我只需要把它倒過來。
那么
IFWT(A, len)
1 divide A into (A0, A1)
2 for i=0 to len/2
3 solve the equation set, where the unknown numbers are A0[i] and A1[i]:
4 f00*A0[i]+f01*A1[i]=A[i]
5 f10*A0[i]+f11*A1[i]=A[i+len/2]
6 IFWT(A0, len/2)
7 IFWT(A1, len/2)
（當然解二元一次方程組只需要手算出來就好啦）
把三種運算（即與，或，異或）的f給出來：
$$\begin{array}{c|cccc}
Ops & f_{00} & f_{01} & f_{10} & f_{11} \\
\hline
And & 1 & 1 & 0 & 1 \\
Or & 1 & 0 & 1 & 1 \\
Xor & 1 & 1 & 1 & -1
\end{array}
$$
附三種運算變換代碼：
1 void FWT_And(int *A, int len) { 2 if (len == 1) return; 3 int len2 = len >> 1; 4 FWT_And(A, len2); 5 FWT_And(A + len2, len2); 6 for (int i = 0; i < len2; ++i) 7 A[i] += A[i + len2]; 8 } 9 void IFWT_And(int *A, int len) { 10 if (len == 1) return; 11 int len2 = len >> 1; 12 for (int i = 0; i < len2; ++i) 13 A[i] -= A[i + len2]; 14 IFWT_And(A, len2); 15 IFWT_And(A + len2, len2); 16 } 17 18 void FWT_Or(int *A, int len) { 19 if (len == 1) return; 20 int len2 = len >> 1; 21 FWT_Or(A, len2); 22 FWT_Or(A + len2, len2); 23 for (int i = 0; i < len2; ++i) 24 A[i + len2] += A[i]; 25 } 26 void IFWT_Or(int *A, int len) { 27 if (len == 1) return; 28 int len2 = len >> 1; 29 for (int i = 0; i < len2; ++i) 30 A[i + len2] -= A[i]; 31 IFWT_Or(A, len2); 32 IFWT_Or(A + len2, len2); 33 } 34 35 void FWT_Xor(int *A, int len) { 36 if (len == 1) return; 37 int len2 = len >> 1; 38 FWT_Xor(A, len2); 39 FWT_Xor(A + len2, len2); 40 for (int i = 0; i < len2; ++i) { 41 int x = A[i], y = A[i + len2]; 42 A[i] = x + y; 43 A[i + len2] = x - y; 44 } 45 } 46 void IFWT_Xor(int *A, int len) { 47 if (len == 1) return; 48 int len2 = len >> 1; 49 for (int i = 0; i < len2; ++i) { 50 int x = A[i], y = A[i + len2]; 51 A[i] = (x + y) >> 1; 52 A[i + len2] = (x - y) >> 1; 53 } 54 IFWT_Xor(A, len2); 55 IFWT_Xor(A + len2, len2); 56 }