關於快速沃爾什變換（FWT）的一些個人理解

定義

FWT是一種快速完成集合卷積運算的算法。

它可以用於求解類似 $C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$ 的問題。

其中⊗代表位運算中的|，&，^的其中一種。

求解（正變換）

設F（A）是對於A的一種變換。

並且F（A）要求滿足： 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　$F(A)*F(B)=F(A⊗B)$ ①

　　　　　　　　　　　　　　  $k*F(A)=F(k*A)$   ②

 　　　　　　　　　　　　　　$F(A+B)=F(A)+F(B)$  ③ （A,B長度相同）

 

鑒於FWT和FFT長得特別像（而且求解的問題也比較類似），我們可以借鑒一下FFT的思路，采用分治的想法。

首先先把多項式的長度用0補到2ⁿ，即多項式A為a₀+a₁x+a₂x²+.....+a_2ⁿ-1x^{2^n-1}。

我們可以將多項式A拆成A₀和A₁。A₀為多項式下標二進制最高位為0的部分，A₁即為多項式下標二進制最高位為1的部分。

則A=（A₀,A₁)。  （ps:此處的括號意為將A0，A1拼起來。）

 

我們猜測F(A)=(k₁*F(A₀)+k2*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))，其中當A的長度為1時，F(A)=A

對於②式證明如下：

　假設A的長度為2ⁿ，

　由原式得：(k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))*k=

　　　　　　　　(k₁*F(k*A₀)+k₂*F(k*A₁),k₃*F(k*A₀)+k₄*F(k*A₁))

　則若要證明k*F(A)=F(k*A)，我們需要證明的是F(k*A')=k*F(A'),其中A'的長度為2^n-1。按照此方法遞歸直到A的長度為1，因為k*A=k*A，所以k*F(A)=F(k*A)。證畢。

對於③式證明如下：（其實和②式的證明一樣的）

　假設A，B的長度為2ⁿ。

　由原式得：(k₁*F(A₀+B₀)+k₂*F(A₁+B₁),k₃*F(A₀+B₀)+k₄*F(A₁+B₁))=

(k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))+(k₁*F(B₀)+k₂*F(B₁),k₃*F(B₀)+k₄*F(B₁))　

　則若要證明F(A+B)=F(A)+F(B)，需要條件F(A'+B')=F(A')+F(B'),其中A'的長度為2^n-1。照此方法遞歸，同理可證明。

　　

如今我們證明了②③的正確性，以下計算是為了確保①正確。

（以下計算以異或為例）

由　　　　　　　　F(C)=F(A)*F(B)

　　　　　　C=A⊗B→ (A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀+A₁⊗B₁,A₁⊗B₀+A₀⊗B₁) 

可以得出  （以下我們以k₁,k₂為例）

　　F(A)的前半部分                     F(B)的前半部分      F(C)的前半部分

           ↓                                                      ↓                        ↓

　（k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁))*（k₁*F(B₀)+k₂*F(B₁))

　　　　　　　　　　　　=k₁*F(A₀⊗B₀+A₁⊗B₁)+k2*F(A₁⊗B₀+A₀⊗B₁)

所以          k₁²F(A₀⊗B₀)+k₁k₂*F(A₀⊗B₁)+k₁k₂*F(A₁⊗B₀)+k2²F(A₁⊗B₁)

　　          =k₁*F(A₀⊗B₀)+k₂*F(A₀⊗B₁)+k₂*F(A₁⊗B₀)+k₁*F(A₁⊗B₁)

                        可得k₁²=k₁,k₁k₂₌k₂,k₂²₌k_1。

　　　　　　　　　　　　解得k₁,k₂為(0,0)或(1,1)或(1,-1)

由於我們的操作必須可逆，所以排除掉(0,0),並且(k₁,k₂)(k₃,k₄)不相等。所以我們可以令k₁=k₂=k₃=1，k₄=-1。

　　　則逆變換的時候，k₁=k₂=k₃=1/2，k₄=-1/2（這個解一下方程就可以算出來了）。

 

如果是|或者&運算，將紅色部分修改為：

　　| ：(A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀,A₁⊗B₀+A₀⊗B₁+A₁⊗B₁) 

　　& : (A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀+A₁⊗B₀+A₀⊗B₁,A₁⊗B₁)

 

　　以下代碼都以異或為例

 

void fwt(int *a,int len)//xor
{
    for (int i=1;i<len;i<<=1)
        for (int j=0;j<len;j+=i*2)
            for (int k=0;k<i;k++)
            {
                int u=a[j+k],v=a[j+k+i];
                a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v+mod;
                if (a[j+k]>mod) a[j+k]-=mod;
                if (a[j+k+i]>mod) a[j+k+i]-=mod;
                // or:a[j+k+i]=u+v;
                // and:a[j+k]=u+v;
            }
}

　　FWT逆變換代碼（以異或為例）

void ufwt(int *a,int len)
{
    for (int i=1;i<len;i<<=1)
        for (int j=0;j<len;j+=i*2)
            for (int k=0;k<i;k++)
            {
                int x=a[j+k],y=a[j+k+i];
                a[k+j]=(x+y)*inv2%mod;
                a[j+k+i]=(x-y+mod)*inv2%mod;
            }
}

 

　　其中的inv2為2的逆元。如果題目沒有要求將答案除以某數，也可以寫作：a[k+j]=(x+y)/2，a[k+j+i]=(x-y)/2

一個神神秘秘的問題

　　學習FWT的時候我比較好奇一個問題。在正變換的時候我們先處理F(A₀),F(A₁)后處理F(A),那為什么我們在求逆變換的時候不需要先求F(A)的逆變換再處理F(A₀),F(A₁)的。。。

　　請大佬不吝賜教。

 

本篇博客參考hy大佬的博客http://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9260176.html。對於其一些我不太理解的地方加了證明和改動。如果有錯誤之處還請多多包涵。