【圖像處理】沃爾什變換與 python 實現

離散沃爾什變換（DWT）與DHT的實現思路其實是一致的，只是變換核需要經過一個變換，這里記錄下原理和實現方法。

哈達瑪變換核

哈達瑪變換核具有遞推性，也就是\(H_{2N}\)可以由\(H_{N}\)得到：

\[H_{2N}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{cc} H_{N} & H_{N} \\\\ H_{N} & -H_{N} \end{array} \right] \]

哈達瑪變換核的另一個特點是，變號次數亂序，以\(H_4\)為例,每行的變號次數分別如下：

\[H_4 = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1 &-1& 1 &-1 \\ 1 &1 &-1& -1 \\ 1 &-1 &-1 &1 \end{array} \right] \begin{array}{cccc} 0\\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \]

沃爾什變換核

沃爾什變換核可以從與哈達瑪變換核間接得到，只需將DHT的變換核按變號次序遞增重新排列即可

\[W_4 = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1 &1 &-1& -1 \\ 1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &-1& 1 &-1 \\ \end{array} \right] \begin{array}{cccc} 0\\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \]

程序實現

生成DHT變換核

在scipy.linalg這個庫中，已經實現了DHT的變換核生成，我們可以通過以下語句調用

from scipy.linalg import hadamard
H4 = hadamard(4)

生成DWT變換核

要得到沃爾什變換核，我們要先得到DHT變換核每一行的變號次數，然后按照變號次數排列，具體實現上我采用的方法如下：

1. 生成變號次數向量invTimes
   要獲取H矩陣的變號次數，可以對H矩陣的每行取差分，然后取絕對值求和再除2（稍微一想就明白，這里不解釋了哈），這些操作在numpy 中都有相應的函數

   diffMat = np.abs(np.diff(H))/2
   invTimes = np.sum(diffMat,axis = 1)
   

2. 對invTimes進行排序
   對invTImes這個列向量排序並不難，問題是我們要在排序時或者排序后能對H矩陣做相同的排序操作，這里我想了很久發現可以通過numpy數組的花式索引來解決
   numpy 排序方法不止一種，但我們想要的不是排序好的數組，而是排序的過程，也即是原數組每一行排序后在哪個位置，好在 ndarray 對象有 argsort() 方法能滿足我們的需求，它返回的是原數組排序后的索引。

   #對invTImes排序會是這樣，因為argsort()返回的是索引
   invTImes[invTImes.argsort()]
   

3. 對H矩陣做相同的排序操作
   有了以上的鋪墊，我們做相同的排序就會很簡單了

   #用invTImes的排序方法對H矩陣的行排序
   H[invTimes.argsort(),:]
   

以上過程封裝后

def hada2wal(H):
    diffMat = np.abs(np.diff(H))/2
    invTimes = np.sum(diffMat,axis = 1)
    W = H[invTimes.argsort(),:]
    return W

效果對比

驗證正確性

從結果的圖來看，實現基本上是正確了，但如何確定實現正確了呢，這里用一下DWT的性質
DWT是正交變換，其變換矩陣是實正交對稱陣，也就是說，其每一行做內積的結果是0，只有與自己內積時才有非零值
因此用W矩陣與其自身做矩陣乘法

得到對角陣，驗證了結果是正交的，我們可以確定得到的沃爾什變換核是正確的