定理一（獨立同分布的中心極限定理）設隨機變量X1,X2,..,X3,..相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望和方差
，則隨機變量之和
的標准化變量的分布函數
對於任意x滿足
案例1：一加法器同時收到20個噪聲電壓
（k=1,2,...,20）,設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間（0，10）上服從均勻分布，記
,求P{V>105}的近似值。
分析：目標： 某個事項總值達到目標值的概率，即變量的分布函數。 求一個加法器電壓大於105的概率是多少。（即20個噪聲電壓加起來大於105的概率）
事項的特點：一個事項，多個變量組成。一個加法器，20個變量。
變量的分布函數特點：變量的取值范圍:變量的取值范圍是（0，10）均勻分布，故變量的概率為1/10，f(x)=1/10*x
已知均勻分布的期望和方差公式如下：
故等到
要算一個加法器電壓大於105的概率是多少，即\({P \left\{ v > 105 \left\} =p \left\{ \frac{{v-20 \times 5}}{{ \left( 10/\sqrt{{12}} \left) \sqrt{{20}}\right. \right. }} > \frac{{105-20 \times 5}}{{ \left( 10/\sqrt{{12}} \left) \sqrt{{20}}\right. \right. }} \right\} \right. \right. }\)
根據目標總電值可以算到標准化變量0.387，而總電值的標准化變量>0.387的概率即為P{V>105}的概率。這里的計算根據定理一，轉化為正態分布來計算。
注意將大於號轉換成小於等於號之后，可直接利用定理一公式代入了。
故這類題目都可以直接套用定理一公式。
總結:
1.計算一個事物的總概率
2.該事物有多個變量組成，這些變量在特定的區間是均勻分布的、
3.根據均勻分布的特點，計算出期望和方差
4.根據目標值和期望和方差，可直接近似於正態分布。
5.如果求大於某個目標值的概率，則結果=1-正態分布（第四步的值），如果求小於或等於某個目標值，則其概率結果=正態分布（第四步的值）
其他類似的習題
習題一.據以往的經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100h的指數分布，現隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命的總和大於1920的概率。
分析：1）目標： 某個事項總值達到目標值的概率 2）一個事項，多個變量組成，這里有16個變量3）變量的分布函數特點：指數函數分布
4）根據變量的概率密度函數特點得到期望和方差
注：指數函數中的
代表每單位時間內發生某事件的次數、也可以理解為某個事件的壽命、某個事件的放電次數等。
5）由於每個電器元件獨立的。適應定理一
習題二、一保險公司有10000個汽車投保人，每個投保人索賠金額的數學期望為280美元，標准差為800美元，求索賠總金額超過2700000美元的概率。
分析：1）目標：某個事項總值達到目標值的概率 2）一個事件，多個變量組成，這里有10000變量 3）已告知期望和方差 3）由於每個變量，投保人是獨立的，故適應於定理一。
習題三、一公司有50張簽約保險單，各張保險單的索賠金額為Xi，i=1,2,...,50(以千美元計）服從韋布爾分布，均值E（x)=5,方差D（x）=6,求50張保險單索賠的合計金額大於300的概率（設各保險單索賠金額是相互獨立的）。
分析:1）目標：某個事項總值達到目標值的概率 2）一個事件，多個變量組成，這里有50變量 3）已告知期望和方差 3）由於每個變量獨立的，故適應於定理一。
定理三：（棣莫費-拉普拉斯定理）設隨機變量
服從參數為n,p(0<p<1)的二項分布，則對於任意x，有
案例：一船舶在某海區航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大於3度的概率為p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500至30500次縱搖角度大於3度的概率是多少？
分析：1）目標:某個事項總值達到的目標值的概率，求的是區間目標概率 2）事件遭受海浪，要么遭受，要么不遭受，故服從二項分布。即在第i次試驗中事件A發生的次數，n=90000,p=1/3 3）根據二項分布，適應於定理三 4）代入公式，近似於正態分布得到目標值的概率
總結:
1.計算一個事物的總概率
2.該事物的隨機變量服從二項分布，即能等到n值和p值
3.根據均勻分布的特點，計算出期望和方差
4.根據n值和p值 ，利於定理三可直接近似於正態分布。
5.如果求大於某個目標值的概率，則結果=1-正態分布（第四步的值），如果求小於或等於某個目標值，則其概率結果=正態分布（第四步的值）。如果是區間a,b(b>a)目標值,則
得到的值
其他類似的習題
習題一：有一批建築房屋用的木柱，其中80%的長度不小於3m,現在從這批木柱中隨機地取100根，求其中至少有30根要短於3m的概率。
分析:1)目標：某個事項總值達到目標值的概率，即30根短於3m的概率。求要大於30根的目標數 2）一個木柱，要不小於3m，要不長於3m，故服從二項分布，n=100,p=(1-80%)=0.2(短於3m的概率)，3)根據二項分布，適應於定理三 4）代入公式
習題二：對於一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別是0.05,0.8,0.15。若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長人數相互獨立，且服從同一分布。1）求參加會議的家長人數X超過450的概率。2)求有1名家長來參加會議的學生人數不多於340的概率。
分析：1）目標：某個事項總值達到目標值的概率 2）某個事項的概率分布，不符合二項，也不符合均勻分布，但事項獨立。
3）根據第2步的分析，得到期望值和方差值。E(x)=00.05+10.8+2*0.15=1.1,D(x)=0.19
4）要算第一問，則可以根據定理一
第2問：一名家長參加會議的學生人數，y`b(400,0.8),由定理三。為什么是二項分布，即要不一名家長加，要不一名家長不參加，故看成二項分布，適應定理三。
注意：注意第1問題和第2問的區別，其學生個數與家長個數的聯系和區別。
第1問的目標概率是指參加家長人數的概率，家長人數是相互獨立，故算是獨立分布。
第2問的目標概率是指帶1名家長的學生人數概率，其目標變量是學生是否帶家長，學生要么帶一名家長，要么不帶一名家長，故是二項分布。已知學生帶一名家長的概率是0.8。
總結：
中心極限定理，題目分析時重點要分析被求目標值的概率與目標變量的關系以及函數分布的期望和方差。