第五章-大數定律&中心極限定理

大數定律: 大量的重復試驗平均結果的穩定性

• 切比雪夫不等式:
  • 定理:假設x隨機變量,EX和DX都存在, 任取ξ >0, 則P(|X-Ex|≥ξ) ≤ DX/ξ²  
    • DX越小, 波動越小, 落在外面的概率越小
    • DX越大, 波動越大, 落在外面的概率越大
    • ξ越大, 落在外面的概率越小
    • ξ越小, 落在外面的概率越大
• 切比雪夫大數定律:
  • 收斂: an→a, 任意ξ>0, n>N時, |an-a|<Σ
  • 依概率收斂: Xn→a, 存在一個ξ<0, 任意N>0, 時P{|Xn-a|<ξ} = lim_n→∞P{|Xn-a|<ξ}=1
• 伯努利大數定律:
  • 重復n次試驗, 事件A發生了Mn次. 概率未P. Mn/n是頻率. lim_n→∞P{|Mn/n-P|<ξ}=1(lim_n→∞P{|Mn/n-P|≥ξ}=0)
• 定理3:切比雪夫大數定律
  
  • x1,...xn時不行哎你給慣的額隨機變量, EXi和DXi都存在, 方差有界, DX≤M,任意ξ>0, lim_n→∞P{|1/nΣ_i=1ⁿXi - 1/nΣ_i=1ⁿEXi|<ξ} =1
• 推論: X1,...Xn獨立同分布, EXi=μ, DXi=σ², 方差無要求, lim_n→∞P{|1/nΣ_i=1ⁿXi-μ|<ξ} = 1  (平均數→期望)

中心極限定理:

• 現象由大量相互獨立的因素影響
• 大量獨立同分布的變量之和的極限分布時正太分布
• 定理: X1,...Xn...是獨立同分布(不管什么分布), EXi=μ, DXi = σ2, 0<σ²<+∞
  • lim_n→∞P[(Σ_i=1ⁿXi - nμ)/(n^½σ)≤x] = Φ₀(x),   
    • Y = Σ_i=1ⁿXi,  EY = EΣ_i=1ⁿXi = nμ,  DY = D(Σ_i=1ⁿXi) = Σ_i=1ⁿDXi = nσ² 

定理: Yn時參數未p的二項式分布, n,p服從二項式分布

• lim_n→∞^P[(Yn-np)/(np(1-p)^½)≤x] = Φ₀(x)