切比雪夫最佳逼近直線

1.淺談|f(x)|最大值的最小值問題－－切比雪夫最佳逼近直線在高考中的應用

2.最佳逼近 切比雪夫——切比雪夫多項式再研究

3.

 

\section{導數壓軸題}

\subsection{參變分離}

\subsection{導數不等式}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/91032042
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/51584482

\begin{theorem}{函數不等式鏈}{1}
當$x\geq 0$時,
\[
\frac{x}{x+1}\le \frac{2x}{x+2}\le \ln \left( x+1 \right) \le \frac{1}{2}\left( x+1-\frac{1}{x+1} \right) \le x.
\]
\end{theorem}

\subsection{設而不求:隱零點}

\subsection{極值點偏移}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/32842987

\begin{theorem}{指、對數平均不等式}{zdpjz}
當實數$a\neq b$時,有
\[e^{\frac{a+b}{2}}<\frac{e^a-e^b}{a-b}<\frac{e^a+e^b}{2}.\]
且
\[\sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2}.\]
\end{theorem}

\begin{example}
(2013年陝西)已知函數$f(x)=e^x,x\in \mathbb{R}$.

(1)若直線$y=kx+1$與$f(x)$的反函數的圖像相切,求實數$k$的值;

(2)設$x>0$,討論曲線$y=f(x)$與曲線$y=mx^2\,(m>0)$公共點的個數;

(3)設$a<b$,比較$\frac{f(a)+f(b)}{2}$與$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$的大小,並說明理由.
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}

\begin{example}
(2016新課標1)已知函數$f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$有兩個零點.

(I)求$a$的取值范圍;

(II)設$x_1,x_2$是$f(x)$的兩個零點,證明: $x_1+x_2<2$.
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}

\begin{example}
(2018皖南八校第三次聯考理科數學)
已知函數$f(x)=e^x-x^2-ax$有兩個極值點$x_1,x_2\,(x_1<x_2)$.

(1)求$a$的取值范圍;

(2)求證: $e^{x_1}+e^{x_2}>4$.
\end{example}
\begin{solution}
\[\frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}=2<\frac{e^{x_1}+e^{x_2}}{2}.\]
\end{solution}

\begin{theorem}{Hermite-Hadamard不等式}{hhbds}
若函數$f(x)$在$[a,b]$上的二階導數非負,則有:
\[
f\left( \frac{a+b}{2} \right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b{f\left( x \right) dx}\le \frac{f\left( a \right) +f\left( b \right)}{2},
\]
當且僅當$f(x)$是一次函數時取等號成立.
\end{theorem}

\begin{example}
(匈牙利, 1914)設$f(x)=ax^2+bx+c$, $a,b,c$為實數,如果對於所有適合$-1\leq x\leq 1$的$x$值,都有$-1\leq f(x)\leq 1$成立,則對這些$x$的值有$-4\leq 2ax+b\leq 4$.
\end{example}

此題的背景是切比雪夫多項式的馬爾科夫定理:如果具有實系數的$n$次多項式
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+ a_nx^n\]
對所有的$-1\leq x\leq 1$滿足不等式
\[-1\leq f(x)\leq 1.\]
那么它的導函數滿足不等式
\[-n^2\leq f'(x)\leq n^2.\]

雖然背景是高等的,但解法只用到一次函數$g(x)=2ax+b$的單調性、取值的技巧和不等式的放縮運算.
\begin{solution}
$12$.
\end{solution}
%切比雪夫多項式的馬爾科夫定理，https://wenku.baidu.com/view/d0c9e2bbfd0a79563c1e720f.html

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

\subsection{切比雪夫多項式}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

利用三角函數$n$倍角公式
\begin{align*}
\cos(0)&=1,\\
\cos(x)&=\cos x,\\
\cos(2x)&=2\cos^2 x-1,\\
\cos(3x)&=4\cos^3 x-3\cos x,\\
\cos(4x)&=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1,\\
\cos(5x)&=16\cos^5 x-20\cos^3 x+5\cos x,\\
\end{align*}
可知$\cos (n\theta)$可以表示成$\cos\theta$的多項式, $T_n(x)=\cos(n\cdot \arccos x)$是一個$n$次多項式,稱為$n$次切比雪夫多項式,其中$x\in [-1,1],n\in \mathbb{N}$.於是
\begin{align*}
T_0(x) &=1,\\
T_1(x) &=x,\\
T_2(x) &=2x^2-1,\\
T_3(x) &=4x^3-3x,\\
T_4(x) &=8x^4-8x^2+1,\\
T_5(x) &=16x^5-20x^3+5x,\\
\end{align*}

性質1. $T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n$個不同的實根$x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n},k=1,2,3,\cdots,n$.

性質2. $T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n+1$個點$x_k^\ast=\cos\frac{k\pi}{n},k=0,1,2,3,\cdots,n$,輪流取最大值$1$和最小值$-1$.例如:當$n=2$時, $x_k^\ast=-1,0,1$.當$n=3$時, $x_k^\ast=-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1$.

性質3. $T_n(x)$滿足遞推關系$T_0(x)=1,T_1(x) =x$,
\[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),\]
其母函數為
\[\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.\]

定理.對任意$n$次首一多項式$P(x)$,設$M=\max_{x\in[-1,1]}|P(x)|$,則$M_{\min}=\frac{1}{2^{n-1}}$.

證明.引理:設$n$次首一多項式$Q(x)$的$n$個根$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$均屬於$(-1,1)$.在$[-1,\alpha_1),(\alpha_1,\alpha_2),\cdots,
(\alpha_{n-1},\alpha_n),(\alpha_n,1]$內各取一點$\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_n$,則對任意首一多項式$R(x)$,均有
\[\max_ {x\in[-1,1]}|R(x)|\geq \min_ {0\leq i\leq n}|Q(\beta_i)|.\]

引理的證明: (反證法)設存在$R(x)$使得
\[\max_ {x\in[-1,1]}|R(x)|< \min_ {0\leq i\leq n}|Q(\beta_i)|\triangleq C.\]
於是$R(x)\in (-C,C),\forall x\in [-1,1]$.

考慮$T(x)=R(x)-Q(x)$,則數列$T(\beta_0),T(\beta_1),\cdots,T(\beta_n)$必定正負交錯(如圖),則$T_n$有至少$n$個根.

然而$R(x),Q(x)$均為首一多項式,故$T(x)\equiv 0$.則$R(x)=Q(x)$,顯然矛盾.

回到原題.設$T_n(x)$為$n$次切比雪夫多項式,令$Q(x)=\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$,則$Q(x)$的各零點$\alpha_i=\cos\frac{(2i-1)\pi}{n}(i=1,2,\cdots,n)$均屬於$(-1,1)$.

在引理中取$\beta_i=\cos\frac{i\pi}{n}(i=0,1,\cdots,n)$,即得$M\geq \frac{1}{2^{n-1}}$,當$P(x)\equiv Q(x)$時可取等.

\begin{theorem}{}{}
設$f(x)$為一個$n$次多項式,首項為$ax^n$,定義域為$D$,值域為$I$,用$|D|$表示$D$的區間長度,則$\frac{|I|}{2}\geq 2^{1-2n}\cdot |a|\cdot |D|^n$.事實上,等號成立時, $\frac{|I|}{2}$也就是$|f(x)|_{\max}$的最小值.等號成立的條件為$f(x)$經過平移及伸縮變換使得定義域為$D$的$T_n$.
\end{theorem}

\begin{solution}
我們用$[a,b]$表示定義域,這樣$|D|=b-a$.當$a=-1,b=1$時,我們已證明了多項式$T_n(x)$的范數為$\frac{1}{2^{n-1}}$.為了求出它在任意區間$[a,b]$上的范數,必須采用把區間$a\leq y\leq b$映射到區間$-1\leq x\leq 1$的線性變換$x=\frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a}$.此時我們得到多項式
\[
p\left( y \right) =T_n\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right) =\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right) ^n+\cdots
\]
它的最高次項系數非$1$而為$\frac{2^n}{(b-a)^n}$.把$p(y)$用這個數來除,我們得到在區間$[a,b]$上的切比雪夫多項式
\[
\widehat{T}_n\left( y \right) =\frac{\left( b-a \right) ^n}{2^n}T_n\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right).
\]
它的最高項系數已為$1$了.易見,它的范數等於
\[
\lVert \widehat{T}_n\left( y \right) \rVert =\frac{\left( b-a \right) ^n}{2^n}\lVert T_n\left( y \right) \rVert =\frac{\left( b-a \right). ^n}{2^{2n-1}}
\]
最后乘上首項的系數$a$,我們便得到了
\[\frac{|I|}{2}\geq 2^{1-2n}\cdot |a|\cdot |D|^n.\]
\end{solution}

對於切比雪夫最佳逼近直線,有如下常用結論:
\begin{theorem}{切比雪夫最佳逼近直線理論}{}
若函數$f(x)$在區間$[m,n]$上具有二階導數,且$f''(x)$在區間$[m,n]$上不變號,則$f(x)$的最佳逼近直線為
\[
g\left( x \right) =k\left( x-\frac{m+c}{2} \right) +\frac{f\left( m \right) +f\left( c \right)}{2},
\]
其中$k=\frac{f\left( m \right) -f\left( n \right)}{m-n}$,實數$c$的值由方程$f'(c)=\frac{f\left( m \right) -f\left( n \right)}{m-n}$解得.
\end{theorem}

\subsection{切比雪夫最佳逼近直線}

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/130443282

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

 

\begin{example}
(2016年天津高考)設函數$f(x)=x^3-ax-b,x\in \mathbb{R}$,其中$a$、$b\in \mathbb{R}$.

(1)求$f(x)$的單調區間;

(2)若$f(x)$存在極值點$x_0$,且$f(x_1)=f(x_0)$,其中$x_1\neq x_0$.求證: $x_1+2x_0=0$;

(3)設$a>0$,函數$g(x)= |f(x)|$,求證: $g(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值不小於$\frac{1}{4}$.
\end{example}
%https://www.zhihu.com/question/345947963/answer/1046248071
\begin{solution}

\end{solution}