高等代數中常用的秩和跡的性質的記錄

對於秩， rankA + rankB >=rank(A+B);   //用行向量或列向量組進行比較，A+B可以用A和B線性表出，等號成立時兩者沒有線性相關的基向量。

對m*n矩陣A， rankA<=min{m,n} //obvious.

rank(A^T)=rank(A)=rank(AA^T)=rank(A^TA)   rank(k*A)=rank(A)

rank(AB)<=min(rankA, rankB)

A可逆,rank(A^n)=rank(A) 

 

 if AB=0, then rankA+rankB<=n;//類比rankA+dim(kerA)=n;

對於跡：

tr(A)=tr(A')

tr(k*A)=k*tr(A);

tr(AB)=tr(BA);  //very important!!!!!!!!  這是跡的循環性質，這樣任意數目矩陣乘積的跡都可以互換

tr(A+B)=tr(A)+tr(B);