高等代数中常用的秩和迹的性质的记录

对于秩， rankA + rankB >=rank(A+B);   //用行向量或列向量组进行比较，A+B可以用A和B线性表出，等号成立时两者没有线性相关的基向量。

对m*n矩阵A， rankA<=min{m,n} //obvious.

rank(A^T)=rank(A)=rank(AA^T)=rank(A^TA)   rank(k*A)=rank(A)

rank(AB)<=min(rankA, rankB)

A可逆,rank(A^n)=rank(A) 

 

 if AB=0, then rankA+rankB<=n;//类比rankA+dim(kerA)=n;

对于迹：

tr(A)=tr(A')

tr(k*A)=k*tr(A);

tr(AB)=tr(BA);  //very important!!!!!!!!  这是迹的循环性质，这样任意数目矩阵乘积的迹都可以互换

tr(A+B)=tr(A)+tr(B);