極簡的微積分
大學的微積分想必折磨了無數個像我一樣的工科生。但是在微積分出世的那時，誰又能想到后來人僅憑一個電阻和一個電容便能實體化這些冷冰冰的公式！
沒錯，微分電路和積分電路都是只由一個電阻和一個電容所構成的，為什么這么簡單的電路卻能夠實現微積分的運算？
微分電路
輸出取自電阻兩端電壓，構成微分電路。以輸入方波信號為例（未作特殊說明，本文默認輸入都為上圖的方波形式，峰值規定為1V），要使該電路能完美地實現微分，就要求時間常數$\tau = RC << t_p$，其中$t_p$是矩形脈沖寬度。由這個條件我們可以將電容電壓$u_c(t)$近似為電源電壓$u_s(t)$：
$RC<<t_p$，則$RC<<T$
周期化作角頻率，可得$\frac{1}{\omega C} >> R$
所以，$u_c(t) >> u_o(t)$，$u_c(t) \approx u_s(t)$
假設電壓初始狀態$u_c(0_{\_})=0V$，結合電容的電壓與電流關系，可得電路輸出是輸入電壓的微分：
$u_o(t)=i_cR=RC\frac{d{u_c(t)}}{dt} \approx \tau \frac{du_s(t)}{dt}$
積分電路
同樣，積分電路也采用類似的分析方法。但不同於微分電路 ，時間常數$\tau = RC >> t_p$才能實現較好的積分效果。此時，$u_s(t) \approx u_R(t)$。
輸出直接取自電容的電壓，因此輸出是輸入電壓的積分。
$u_o(t)=u_c(t)=\frac{1}{C}\int_{0}^{t} i_R(t) dt = \frac{1}{RC}\int_{0}^{t} u_R(t) dt \approx \frac{1}{\tau}\int_{0}^{t} U_s(t) dt$
響應分析
定性分析
先以微分電路為例，分析各電壓響應間的關系。在一開始，輸入為0V，電容相當於短路，輸出也為0V；當脈沖來臨，輸入跳變到1V，由於電容兩端電壓不能突變，所以$u_c=0V$，輸出瞬間跳變為1V。此后，輸入一直維持在1V，電容也開始慢慢充電，$u_c$逐漸上升，導致輸出減小；直到輸入跳變回0V，由於電容電壓不能突變，仍然為1V，將輸入視作接地，則$u_o=-u_c$，因為電容開始放電，因此輸出也從-1V向0V增大。
積分電路的分析要更為復雜些。如上圖，$(2k-2)t_p \sim (2k-1)t_p$間有電壓輸入，電容進行充電。由於時間常數較大，充電速度較慢，因此遠沒有達到飽和狀態；$(2k-1)t_p \sim 2kt_p$間輸入為零，電容進行放電，同樣放電速度較慢。經過多個周期，電容兩端的電壓會累積得越來越多。更深入的，將用定量分析來表述。
定量分析
電容元件在時域中的完全響應為$u_c(t)=u_c(\infty)+[u_c(0_+)-u_c(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}$。假設電壓初始狀態$u_c(0_{\_})=0V$，則零狀態響應為$u_c(t)=u_c(\infty)-u_c(\infty) e^{-\frac{t}{\tau}}$，$u_c(\infty)$在這里就是電容充滿電后的電壓，即等於脈沖的峰值電壓；假設外施激勵為零，則零輸入響應為$u_c(t)=u_c(0_{\_}) e^{-\frac{t}{\tau}}$。
對於微分電路而言，矩形脈沖期間可以視作零狀態響應，$u_c(t)=(1- e^{-\frac{t}{\tau}})V$，則$u_o(t)=e^{-\frac{t}{\tau}} V$；零激勵期間可以視作零輸入響應，$u_c(t)=e^{-\frac{t}{\tau}}V$，$u_o(t)=-e^{-\frac{t}{\tau}}V$ 。並且，只要在每個期間內，電容能完全地充放電，那么每個周期的響應之間都是彼此獨立且相同的。
（敲黑板，重點來了）
而積分電路中，$(2k-1)t_p \sim 2kt_p$段可以視作零輸入響應，其初始狀態為$u_c(0_{\_})=u_c((2k-1)t_p)$；$(2k-2)t_p \sim (2k-1)t_p$段既有初始狀態，又有外加激勵，因此是完全響應，可以分解成零狀態響應+零輸入響應進行求解。
我們先考察一下開始幾個點的響應，為了表示的方便，記$e^{-\frac{t_p}{\tau}}=W$，$U(k)=u_c(kt_p)$，再次說明輸入峰值為1V：
$U(1)=1-W^1=W^0-W^1$
$U(2)=U(1)·W^1=W^1-W^2$
$U(3)=U(2)·W^1 + 1-W^1=W^0+W^2-(W^1+W^3)$
不難推斷：
$U(2k-1)=\sum_{i=0}^{k-1}(W^{2i}-W^{2i+1})，k=1,2,3···$
$U(2k)=U(2k-1)·W^1=\sum_{i=1}^{k}(W^{2i-1}-W^{2i})，k=1,2,3···$
定義中心電壓：$U_0(k)=\frac{2U(k)+U(k-1)+U(k+1)}{4}=\frac{2-W^{k}-W^{k+1}}{4}，k=0,1,2,3···$
前兩個式子都是等比數列的和，公比為$W^2$，因為$0<W<1$，所以響應必然是收斂的。並且$\lim_{k->\infty,W->1}U(2k)=\frac{W}{1+W} \approx \frac{1}{2}$，$\lim_{k->\infty,W->1}U(2k-1)=\frac{1}{1+W} \approx \frac{1}{2}$。即積分電路達到穩定狀態時，輸出波形是一個非常非常近似的三角波，其峰峰值為$\lim_{k->\infty}[U(2k-1)-U(2k)]=\frac{1-W}{1+W}$，中心電壓為$\lim_{k->\infty}U_0(k)=\frac{1}{2}$。
下圖是R=10k，C=10uF時積分電路的響應變化情況。
如果輸入的峰值變為$E$，那么最終積分電路的穩態輸出為$\frac{1}{2}E$，也就是說積分電路對輸入具有取均值的功能。從上述分析中，也能看出，積分電路並非真正的積分，其原因就在於零激勵時電容存在放電，無法維持電壓不變。
時間常數的意義
前面我們講過，微分電路的時間常數較小，積分電路的時間常數較大。這樣規定是因為在這里，時間常數是衡量電容充放電速度的一項指標，而電容充放電的快慢則影響了微積分的效果。
我們知道，在$t=0$時刻，電容剛開始要充電，兩端電壓還是0V；隨着時間的推移，電容電壓越來越接近脈沖峰值，直到電源由脈沖變為0V，之后便開始放電歸零。顯然，如果$\tau$越小，充放電速度就越快，達到峰值或者歸零所用的時間就越短，這顯然適用於微分電路。而$\tau$較大時，充放電較慢，不容易達到飽和，所以適合積分電路。
對微分的影響
以微分為例，上圖展示了$\tau$值變化對輸出波形的影響。$\tau$較大時候，電容充放電的時間遠大於$t_p$，所以當輸入發生跳變時，電容電壓甚至還沒有放完電或者是充滿電；隨着$\tau$值減小，輸出波形越來越接近沖激（理想的微分輸出）。
也許有人會說，為了波形越接近沖激，那讓$\tau$取得極限小不是很好嘛。這其實是有問題的——從圖中可以發現，$\tau$太小時，輸出波形的幅值也會減小。至於變小的原因，可以理解為電容狀態改變得很快，其波形幾乎和輸入電壓的波形重合，導致在跳變瞬間電阻的分壓非常小（或者從1.1節中的結論公式入手）。另外，注意到$\tau$過大時，輸出幅值也會減小，這是因為電容來不及充放電所導致的。例如，輸入從0V跳變至1V時，電容由於之前還未放完電，導致現在兩端電壓$u_c>0V$，這就造成輸出$u_o<1V$。因此實際應用中，應該選擇一個較為合適的時間常數。
對積分的影響
回憶上文推導過的公式，時間常數決定了W的大小，而W又決定了電路以下幾個特性：穩態峰峰值、過渡時間（達到穩態所需的時間）和電容狀態（是否會飽和）。
但是，只要$0<W<1$，那么穩態的電壓就與$W$無關，就方波輸入來說，輸出的穩態中心電壓為$\frac{1}{2}E$。
第一，穩態峰峰值之前已經算過，是$\frac{1-W}{1+W}$。當$\tau$增大，則$W$變大，峰峰值減小。
第二，根據中心電壓$U_0(k)=\frac{2-W^{k}-W^{k+1}}{4}$，當$\tau$增大，則$W$變大，那么中心電壓收斂的時間就會變長（過渡時間變長）。
第三，當$\tau$減小時，電容充放電的速度會變快，甚至導致飽和狀態的出現，失去積分功能。
頻率特性
微分高通
先分析微分電路的頻率特性：
$F=\frac{U_{o}(j\omega)}{U_{s}(j\omega)}=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}$
令$\omega _c = \frac{1}{RC}$，則$F=\frac{1}{1-j\frac{\omega_c}{\omega}}$
幅頻特性：$|F|=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega_c}{\omega})^2}}$
相頻特性：$\phi = arctan\frac{\omega_c}{\omega}$
當$\omega \rightarrow 0$時，$|F|=0$，$\phi = 90^{\circ}$；
當$\omega \rightarrow \omega_c$時，$|F|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\phi =45^{\circ}$；
當$\omega \rightarrow \infty$時，$|F|=1$，$\phi = 0^{\circ}$；
由上述可知，微分電路具有高通特性，並且輸出超前於輸入信號。將$ \omega_c$定義為RC微分電路的截止角頻率。
下圖是不同頻率正弦波激勵下的相頻曲線和幅頻曲線（輸入正弦波，輸出也為正弦波）。
積分低通
用相同的方法，我們可以得到：
$F=\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$
其特性與微分電路恰好相反——低通、輸出滯后。$ \omega_c$定義為RC積分電路的截止角頻率。
參考文獻
感謝以下前輩文章對我的幫助：
閆俊榮，黃艷《RC電路的特性分析及應用》；
胡斌《積分和微分電路分析方法》；
李彩萍，李樂生《方波激勵下一階RC電路響應的研究》；
呂偉峰《RC積分微分電路實驗的誤差分析方法》；