1 控制系統的數學模型
數學模型是描述系統輸入量、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，揭示了系統結構及其參數與其性能之間的內在關系。
靜態數學模型：靜態條件（變量各階導數為零）下描述變量之間關系的代數方程。反映系統處於穩態時，系統狀態有關屬性變量之間關系的數學模型。
動態數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程，描述動態系統瞬態與過渡態特性的模型。也可定義為描述實際系統各物理量隨時間演化的數學表達式。微分方程或差分方程常用作動態數學模型。
對於給定動態系統，數學模型表達不唯一。工程上常用的有：微分方程，傳遞函數和狀態方程。不過對於線性系統，它們之間是等價的。
2 建立數學模型的方法
1. 解析法
依據系統及元件各變量之間所遵循的物理規律寫出相應的數學關系式，建立模型。
2. 實驗法
人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，並用適當的數學模型進行逼近，這種方法也稱為系統辨識。
3 數學模型的形式
1. 時間域
- 微分方程
- 差分方程
- 狀態方程（一階微分方程組）
2. 復數域
- 傳遞函數
- 結構圖
3. 頻率域
- 頻率域
4 建立數學模型的一般步驟
用解析法列寫系統或元件微分方程的一般步驟是：
- 分析系統工作原理和信號傳遞變換過程，確定系統和各元件的輸入、輸出量。
- 從系統輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據各變量所遵循的物理學定律，依次列寫各元件、部件的動態微分方程。
- 消去中間變量，得到一個描述元件或系統輸入、輸出變量之間關系的微分方程。
- 寫成標准化形式。與輸入有關項放在等式右側，與輸出有關項放在等式左側，且各階導數項按降冪排列。
5 控制系統微分方程的列寫
5.1 機械系統
在機械系統中，有些構件慣性和剛度較大，有些構件慣性較小、柔度較大。
我們將前者的彈性忽略視其為質量塊，將后者的慣性忽略視其為無質量彈簧。
這樣，機械系統便可以抽象為質量-彈簧-阻尼系統。
1. 質量
2. 彈簧
3. 阻尼
5.1.1 機械平移系統
列出各元件的動態微分方程：
消去中間變量並寫成標准形式：
式中，m、D、k通常均為常數，故機械平移系統可以由二階常系數微分方程描述。
微分方程的系數取決於系統的結構參數，而階次等於系統中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數量。
5.1.2 機械旋轉系統
列出各元件的動態微分方程：
消去中間變量並寫成標准形式：
5.2 電路系統
電路系統包含三個基本元件：電阻、電容和電感。
1. 電阻
2. 電容
3. 電感
5.2.1 R-L-C無源電路網絡
列出各元件的動態微分方程：
消去中間變量並寫成標准形式：
一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微分方程。
若L=0，則系統可簡化為：
5.2.2 有源電路網絡
列出各元件的動態微分方程：
消去中間變量並寫成標准形式：
5.3 電磁系統
列出各元件的動態微分方程：
磁場對載流線圈作用的定律：
基爾霍夫定律：
電磁感應定律：
牛頓第二定律：
消去中間變量並寫成標准形式：
上式為電樞控制式直流電動機的控制系統的動態數學模型。
當電樞電感較小時，通常可忽略不計，系統微分方程可簡化為：
6 小結
1. 物理本質不同的系統，可以有相同的數學模型，從而拋開系統的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。
2. 從動態性能看，在相同形式的輸入作用下，數學模型相同而物理本質不同的系統其輸出響應相似（相似系統是控制理論中進行實驗模擬的基礎）。
3. 通常情況下，元件或系統微分方程的階次等於元件或系統中所包含的獨立儲能元件的個數。
4. 系統的動態特性是系統的固有特性，僅取決於系統的結構及其參數，與系統的輸入無關。