導言
收集和理解高中數學中的各種常見的模型，對理解高中數學內容會有很大的幫助。現舉例如下，待有空再整理。
集合包含模型
比如，集合\(A\)為定集，集合\(B\)為動集，且題設中有條件\(B\subseteq A\)，則常常需要針對集合\(B\)分類討論：\(B=\varnothing\)或者\(B\neq\varnothing\)；
二次函數恆成立模型
- 希望能理解和掌握以下的常用轉化。[1]
- 已知[仿二次]函數\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)在\(R\)上恆成立的充要條件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)。
- 已知二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恆成立的充要條件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)；
- 已知二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恆成立的充要條件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\)；
- 已知二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恆成立的充要條件的寫法有兩種形式：
其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\)；
其二是\(\Delta \leq 0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\) - 已知二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恆成立的充要條件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\)；
求參數范圍模型
- 參數的判斷原則，題目中求誰的范圍，那么誰就是參數，另一個很自然就歸並為自變量了。
- A、函數型恆成立
①一元一次型，求解方法：變換主元法[2]
②一元二次\(R\)型，求解方法： 二次項系數+ \(\Delta\)法[3]
③一元二次區間型，求解方法：分類討論或分離參數法[4]
- B、最值型恆成立
解題必備：必備值域求法；分類討論、數形結合思想；學會分離變量法；區別最值型恆成立和有解問題。
①\(A\leq f(x)\)在\(x\in[a，b]\)上恆成立(或 \(A\ge f(x)\))，等價於\(A\leq f(x)_{min}\)或\(A\ge f(x)_{max}\)。
②（注意具體題目中可能A為代數式，如\(A=m^2+2m\)）
\(g(m)\leq f(x)\)在\(x\in［a，b］\)上恆成立形式(或\(g(m)\ge f(x)\))，等價於\(g(m)\leq f(x)_{min}\)，\(x\in［a，b］\)時(或\(g(m)\ge f(x)_{max}\))。
③\(\forall x\in D，f(x)>g(x)\)型 同時注意“單變量”和“雙變量”類型在轉化時的區別,直接型恆成立和間接型恆成立
- C、絕對值型恆成立
-
①\(|f(x_1)-f(x_2)|\leq c\) 即就是 \(|f(x_1)-f(x_2)|\leq f(x)_{max}－f(x)_{min}\leq c\)
-
②$\forall x_1， x_2\in D $， \(|f(x_1)-f(x_2)|\leq a|x_1-x_2|\)[5]
恆成立(能)(恰)模型
相關閱讀：1、恆成立、能成立和恰成立三類命題賞析；2、恆成立能成立和恰成立習題；
二次方程根的分布模型
1、相關閱讀：一元二次方程根的分布；
方程有解模型
1、相關閱讀：方程有解習題；
2、相關閱讀：函數的零點和極值點；
- 可以轉化為方程有解的題目：
① 函數\(f(x)\)有極值點；則導函數方程\(f '(x)=0\)在給定區間有解，且解為變號零點。
② 函數\(f(x)\)在給定區間不單調\(\Longrightarrow\)函數\(f(x)\)有極值點\(\Longrightarrow\)則導函數方程\(f '(x)=0\)在給定區間有解，且解為變號零點。
抽象不等式模型
\(f(M)\ge f(N)\)，函數的定義域為\(D\)，脫掉\(f\)后等價於從兩個角度轉換，即單調性+定義域兩個角度。[6]
- 引例：已知函數\(f(x)=2015^x-log_{2015}(\sqrt{x^2+1}-x)-2015^{-x}+2\)，求解不等式\(f(3x+1)+f(x)>4\)
分析：此類題目一般的思路是把左右轉化為形如\(f(M)≥f(N)\)，然后再脫掉\(f\),就可以求解了，但是左邊需要這樣的性質：\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，
右邊也需要將4\(f\)化，經過嘗試，這個性質\(f(x)+f(y)=f(xy)\)並不滿足，由原題可得\(f(0)=2\)，也並不能順利的將4\(f\)化，所以我們得變換思路。
先考慮函數的奇偶性，發現\(f(-x)+f(x)=4\),這樣將右端的4做一個代換，就得到\(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x)\)，整理后就成了\(f(3x+1)>f(-x)\)，
接下來用單調性脫掉符號\(f\)即可求解。
解析：由題目可知函數的定義域為\(R\)，函數的各個部分\(2015^x\)單增，\(-log_{2015}(\sqrt{x^2+1}-x)\)單增，\(-2015^{-x}+2\)單增，所以\(f(x)\)單增，
又\(f(-x)+f(x)=4\)，所以帶入原不等式得到\(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x)\)，
故有\(f(3x+1)>f(-x)\)，定義域為\(R\)，單增，則有\(3x+1>-x\)，解得\(x>-\cfrac{1}{4}\)。
解后反思：
【題目原始模型】\(log_2 (x+1)>log_2 (2-x)\)，由於單調性，定義域是隱含已知的，故轉化為不等式組\(\begin{cases} &0 < x+1 \\ &0 <2-x \\ &2-x<x+1\end{cases}\)
【題目抽象模型】\(已知函數f(x)的定義域是[-1,1]\)，且滿足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，解不等式\(f(2x-1)>f(2-3x)\)，仿上，你會轉化嗎？
【再增加難度】\(已知函數f(x)的定義域是[-1,1]\)，且滿足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，解不等式\(f(2x-1)+f(2-3x)>f(0)\)，仿上，你會轉化嗎？
【再增加難度】\(已知函數f(x)的定義域是[-1,1]\)，且滿足\(\forall x_1，x_2\in [-1，1]，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))>0\)，\(f(-x)+f(x)=0\)，解不等式\(f(2x-1)+f(2-3x)>0\)，仿上，你會轉化嗎？
函數不等式模型
- 實質：帶有前提條件的替換[7]
已知函數\(f(x) = \begin{cases}log_2^x &x>0 \\ 2^x &x\leq 0 \end{cases}\)，若\(f(a)\ge 1\)，求\(a\)的取值范圍。
分析：原函數不等式等價於不等式組\(\begin{cases}a>0\\\log_2^a\ge 1 \end{cases}\)或者\(\begin{cases} a\leq 0 \\\ 2^a\ge 1 \end{cases}\)，
三角函數模型
- 涉及三角函數相關的變換的問題中，最多見的變形方向就是轉化為正弦型；[8]
\(y=asinx+bcosx\) \(\Longrightarrow\) \(y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k\)后，可以常規化得求周期、值域、對稱軸、對稱中心、單調區間、奇偶性等。
數列中求通項公式，求和公式
累加法、累乘法模型
錯位相減法，
模型函數
研究透徹函數\(f(x)=sinx\)的性質，可以正向遷移研究\(y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k\)的各種性質；
平行線法求切線模型
理解和掌握常見的求曲線的切線的思路和方法。[9]
分析：設函數\(y=kx\)與函數\(y=lnx\)切點為\(Q(x_0,y_0)\)，則有
\(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0}\\{ y_0=lnx_0 }\\{k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}}\end{array}\right.\)；
從而解得\(x_0=e，y_0=1，k=\cfrac{1}{e}\)，
故切點\(Q\)的坐標為\((e，1)\)，此時的切線的斜率為\(k=\cfrac{1}{e}\) 具體參見課件
【等價題目】直線\(y=x\)上的點為\(P(x，y)\)，函數\(y=lnx\)上的點是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。
思路：平行線法，設和直線\(y=x\)平行且和函數\(y=lnx\)相切的直線為\(y=x+m\)，
切點為\(P_0(x_0,y_0)\)，則有\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)所以所求的點點距的最小值，就轉化為切點\(P_0(1,0)\)到直線\(y=x\)的點線距，
或者兩條直線\(y=x,y=x-1\)的線線距了。
部分分式模型+對號函數模型
均值不等式模型
高頻等價轉化
函數\(y=f(x)\)有\(n\)個零點 \(\Longleftrightarrow\) 方程\(f(x)=0\)有\(n\)個不同的根 \(\Longleftrightarrow\) 兩個函數圖像\(y=f(x)，y=0\)有\(n\)個不同的交點，思想方法：數形結合。
解不等式模型
①用代數方法解 如\(x^2-3|x|+2>0\)
②用圖像解 如坐標系中給出函數\(f(x)\)和\(g(x)\)的圖像，求解\(f(x)>g(x)\)等，
再如\(f(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)>0\)， 法1：圖像法， 法2：代數方法
③用導數解，如\((x-1)f'(x)>0\)，比較\(f(0)+f(2)>2f(1)\)。
④構造函數解不等式 用"左-右"=\(g(x)\),利用導數知識求解。
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如引例1、\(f(a)=(x-2)a+(x^2-4x+4)>0\)在\(a\in［-1，1］\)恆成立，求\(a\)的取值范圍。 ↩︎
如引例2、 $ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 對 \(x\in R\)恆成立，求\(a\)的取值范圍。 ↩︎
如引例3、$ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 在 \(x\in［-1，1］\)恆成立，求\(a\)的取值范圍。相關閱讀：二次函數恆成立習題；
【思路對比】
引例4、$f(x)=x^2 +ax-2a\geqslant 0 $ 在區間 $ x \in［a，b］$ 上恆成立的轉化思路
法1：二次函數法+分類討論法【針對對稱軸和給定區間的位置關系及判別式常常分3類情況討論】
法2：分離參數法
引例5、$ f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a>0 $ 在區間 \(x\in［a，b］\) 上恆成立的轉化思路 \(f(a)\leq 0\)且\(f(b)\leq 0\) ↩︎思路提示：利用題目的條件，去掉兩邊的絕對值符號，變形為 \(f(x_2)-f(x_1)\leq a(x_1-x_2)\)，再變形為\(f(x_2)+ax_2\leq f(x_1)+ ax_1\) ，接下來構造新函數\(g(x)=f(x)+ax\)，研究新函數的性質解題。 ↩︎
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