前言
- 組合數學也是數學中一個比較重要的分支，而其中最經典的模型莫過於盒子與球問題。
問題
- 按照球是否不同，盒子是否不同，盒子是否允許為空，大致可以分為 \(2^3\)，也就是 \(8\) 種問題。
- 給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？\((A)\)
- 給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？\((B)\)
- 給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？\((C)\)
- 給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？\((D)\)
- 給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？\((E)\)
- 給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？\((F)\)
- 給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？\((G)\)
- 給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？\((H)\)
解法
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A ：給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？
對於每一個球，都有 \(M\) 種選擇，所以答案即為 \(M^N\)
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F ：給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？
經典隔板法問題，可以轉化為：在 \(N\) 個球之間的 \(N-1\) 個間隙中選擇 \(M-1\) 個位置將其分成 \(M\) 份，組合數直接求解。答案即為 \(C_{N-1}^{M-1}\)
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E ：給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？
和 \(F\) 題類似，只不過盒子允許為空，那么這個時候我們可以假設每個盒子里都已經放了一個球，這個時候實際上就有 \(N+M\) 個球了，類似的，我們再次使用隔板法。對於每一種方案，我們就可以想象成每個空隙右邊的第一個球是提前放好在盒子里的，如果將這個球省略，正好就是盒子允許為空的一種方案。故答案即為 \(C_{N+M-1}^{M-1}\)
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G ：給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？
設 \(f[n][m]\) 表示將 \(n\) 個球放到 \(m\) 個盒子里的方案數。我們可以分兩種情況來考慮：1.有一個盒子不放球的情況，那么答案就是 \(f[n][m-1]\)。2.所有的盒子都放一個球，那么答案就是 \(f[n-m][m]\)。根據加法原理，我們可以得到遞推式：\(f[n][m]=f[n][m-1]+f[n-m][m],m=\min(m,n)\)。邊界：\(f[0][m]=1,f[n][1]=1\)
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H ：給定 \(N\) 個相同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？
每個盒先放一個球，然后就可以變成問題 \(G\)。答案：\(0\quad(N<M)\) 或者 \(f[N-M][M]\)
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D ：給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？
設 \(f[n][m]\) 表示將 \(n\) 個球放到 \(m\) 個盒子里的方案數。那么對於第 \(n\) 個球，則有兩種選擇：1.其單獨放在一個盒子里，那么答案就是 \(f[n-1][m-1]\)。2.其和其他的球共用一個盒子，因為有 \(m\) 個盒子可以選擇，那么答案就為 \(m\times f[n-1][m]\)。實際上這就是第二類斯特林數。根據加法原理，遞推式為 \(f[n][m]=f[n-1][m-1]+m\cdot f[n-1][m]\)。邊界：
if(m==n||m==1) return 1。 -
C ：給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個相同的盒子，盒子允許為空，有多少種方案？
和 \(D\) 類似，分別考慮有 \(0\sim M-1\) 個盒子為空的情況，那么答案就為 \(\sum_{i=1}^nf[n][i]\)
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B ：給定 \(N\) 個不同的球，放進 \(M\) 個不同的盒子，盒子不允許為空，有多少種方案？
和 \(D\) 題類似，假如我們現在已經得到了將 \(N\) 個不同的球放進 \(M\) 個相同的盒子里的方案，那么實際上由於盒子是不同的，那么還需要對盒子進行排序，（因為盒子有異，所以交換兩個盒子的順序算不同的方案），乘上 \(M\) 的階乘即可。
——2021年2月9日