放蘋果問題（組合數學經典）

轉自   ： https://blog.csdn.net/u012283461/article/details/52761238

 

【問題描述】

把M個同樣的蘋果放在N個同樣的盤子里，允許有的盤子空着不放，問共有多少種不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一種分法。

【輸入】

第一行是測試數據的數目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二個整數M和N，以空格分開。1<=M，N<=10。

【輸出】

對輸入的每組數據M和N，用一行輸出相應的K。

【問題分析】

放蘋果的問題乍看之下很復雜，盤子是一樣的，蘋果也是一樣的；只要每個盤子里面放的蘋果是一樣多的，不管順序如何最終得到的都是同一種分法。我屬於初學算法，對於算法不熟悉，一遇到問題就會用人的思維去思考問題，我會想着空一個盤子是什么情況，空兩個盤子是什么情況，一個盤子都不空又是什么情況。越想腦子越亂，最后就得不到解題方法，但是就目前看的遞歸算法而言。似乎是因為我想多了，其實我們需要把問題簡化。就拿這個放蘋果的問題而言，我們只需要分兩種情況：有空盤子和沒空盤子。

1.有空盤子：f(m,n)=f(m,n-1)//有空盤子很多人會有疑問，這不是只有一個空盤子的情況嗎？那2個3個空盤子呢？這就需要遞歸的思想，隨着一步一步的將n換成n-1你就會發現那就是2,3個空盤子的情況。

2.沒有空盤子：f(m,n)=f(m-n,n)//沒有空盤子，我們可以看成先給每一個盤子放一個蘋果，則還剩下m-n個蘋果，剩下的問題就是把這m-n個蘋果放到n個盤子里的問題了，也許有人會問，m-n個蘋果放到n個盤子也會出現空盤子的情況啊，不是和前面的有空盤子重復了？確實，會出現空盤子的情況，但是請注意，他們並不是真的空盤子，因為他們最開始已經放了一個，他們在這里的空代表着這個盤子只有最開始放的一個蘋果。

因此：f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)       m>=n                  

上面的表達式並不完整，當m<n時的情況沒有考慮，當m<n的時候，肯定最少有n-m個空盤子，不過幸好，這些空盤子並不影響最后的結果，因為每種方法都帶有着些空盤子，剩下的問題就是把m個蘋果放到m個盤子有多少種方法了。

因此：f(m,n)=f(m,m)                m<n

寫到這里主要表達式基本上已經寫完了，但是遞歸都需要有結束條件，結束條件並不是很難發現，當只有一個盤子時明顯只有一種方法，另外沒有蘋果和只有一個蘋果的時候也只有一種放法。即f(m,n)=1      n=1,m=0

綜上：

f(m,n)=1                         n=1,m=0

f(m,n)=f(m,m)                m<n

f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)       m>=n  

 

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm=10000;
int m[maxm],n[maxm],k[maxm];
int putApple(int m,int n);
int main(){
    memset(k,0,sizeof(k));
    int t;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        cin>>m[i]>>n[i];        
    }
    for(int i=1;i<=t;i++){
    k[i]=putApple(m[i],n[i]);
    cout<<k[i]<<endl;
    }
} 
 
int putApple(int m,int n){
    if(m==0||n==1) return 1;
    if(n>m) 
        return putApple(m,m);
    else
        return putApple(m,n-1)+putApple(m-n,n);
}