組合數學（球和盒子）
將球是否相同，盒子是否相同，是否可以有空盒分為八種情況。
將球設為\(n\)個，盒子設為\(m\)個（有空盒指的是可以有空盒）。
1.球相同，盒子不同，無空盒
擋板法，相當於將\(n\)個球分成\(m\)組，相當於在\(n-1\)中插入\(m-1\)塊板子。
結論是：\(C_{n-1}^{m-1}\)
2.球相同，盒子不同，有空盒
在每個盒子里面先放\(1\)個球，一共\(m\)個球，現在就等價於（1）的這個問題。
結論是：\(C_{n+m-1}^{m-1}\)
3.球相同，盒子相同，有空盒
假設\(f[n][m]\)為\(n\)個球放到\(m\)個盒子里的方案數。
如果\(n<m\)，此時\(m\)個盒子必然裝不滿，\(可得f[n][m] = f[n][n]。\)
如果\(n>=m\)，此時可以選擇將盒子放滿或者盒子不放滿。
\(~~~~~(1)\)如果沒放滿，那就減掉一個盒子，此時為\(f[i][j-1]\)。
\(~~~~~(2)\)如果放滿了，那就在每個盒子上里放一個球。現在就是\(f[i-j][j]\)。
\(f[i][j] = f[i][j-1]+f[i-j][j]\)。
得到轉移方程之后考慮邊界條件。
如果沒有球或者只有一個盒子，此時方案數為1，即\(f[0][j] = f[i][1] = 1\)。
for(ll i = 0;i <= n;i++){
for(ll j = 1;j <= m;j++){
if(j == 1|| i == 0)f[i][j] = 1;
else if(i < j) f[i][j] = f[i][i];
else if(i >= j) f[i][j] = f[i-j][j]+f[i][j-1];
}
}
4.球相同，盒子相同，無空盒
類比上面問題3的情況，我們發現答案就是\(f[n-m][m]\)的值。
5.球不同，盒子不同，有空盒
對於每一個球，我們可以放在任意一個位置，也就是說每一個球都有\(m\)種取法。
故一共有\(m^n\)種方案數。
6.球不同，盒子相同，無空盒
這個問題需要拓展第二類斯特林數。
將\(S_2(n,m)\)讀作關於\(n,m\)的第二類斯特林數。
兩種求法：
遞推：
\(S_2(n,m) = S_2(n-1,m-1)+mS_2(n-1,m)\)
單獨看第一個球，如果第一個球獨立存在於一個盒子里面。那么就是\(S_2(n-1,m-1)\)。
如果不是如此，那么就是把這個球放在任意的盒子里面。也就是在\(S_2(n-1,m-1)\)的情況下，找一個盒子塞進去一個球，因為有\(m\)個盒子所以就乘\(m\)。
容斥：
\(S_2(n,m)=\frac{1}{m!}∑_{k=0}^{m}(−1)^kC_m^k(m−k)^n\)
（說實話可能需要用到多項式的知識，所以完全不會）
聯系問題5，問題6還可以得到一個性質
\(n^k = ∑_{i=0}^{k}S_2(k,i)*i!*C_n^i\)
什么意思呢？
左邊指的是，\(k\)個球任意的放在\(i\)個盒子里(5)
右邊，我們枚舉有多少個非空的盒子數\(i\)（盒子不同，乘上\(i!\)），再乘上我們選盒子的方案數。
S[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
S[i][j]=S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j];
}
}
7.球不同，盒子不同，無空盒
與上面問題6基本相同，只需要乘\(m!\)即可
\(m!*S_2(n,m)\)
8.球不同，盒子相同，有空盒
也是對6的拓展，只需要枚舉非空盒子的對應的方案數量即可 。
\(\sum_{i=1}^{m}S_2(n,i)\)
對於這個問題我們再引入一個數列——貝爾數
貝爾數\(B_n\)更常見的定義為，將\(n\)個數的集合所有的划分方式，你可以認為這是問題8在盒子數與球數相同時的解。
它有一個遞推公式：
\(B_{n+1} = \sum_{k=0}^nC_n^kB_k\)
證明：
假設，\(B_{n+1}\)是含有\(n+1\)個元素集合的划分個數。
先單獨拿出一個一個元素。
這個元素分為一類，剩下\(n\)個元素，有\(C_n^nB_n\)
這個元素和某1個單獨元素分成一類，\(C_n^{n-1}B_n\)
這個元素和某2個單獨元素分成一類，\(C_n^{n-2}B_n\)
求和可得。
在關注問題8和貝爾數就可以得到貝爾數和第二類斯特林數的關系。
\(B_n = \sum_{k=0}^nS_2(n,k)\)
以上就是盒子和小球小小的總結。