一、二階矩陣的逆矩陣
$A^{-1}$的公式：$\left[\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr}{d} & {-b} \\ {-c} & {a}\end{array}\right]$
在上面的例子中，我們知道$\frac{1}{a d-b c}$其實就是$\frac{1}{det A}$，而$\left[\begin{array}{rr}{d} & {-b} \\ {-c} & {a}\end{array}\right]$正好是每個元素的代數余子式組成的矩陣，然后進行了轉置，事實上對於$n*n$矩陣：
$A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}$
其中$C$是代數余子式矩陣（注意到轉置符號），$A$第一行的代數余子式，對應$A^{-1}$中的第一列
通過上面的公式計算逆矩陣，$A$的行列式需要將$n$項和對應的$n-1$矩陣對應的代數余子式相乘，相比這種方法，使用高斯-約爾當消元法求的逆矩陣更為簡單。
二、證明上面的逆矩陣計算公式
我們只需要驗證$AC^T=(det A)I$即可
$A C^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{C_{11}} & {\cdots} & {C_{n 1}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {C_{1 n}} & {\cdots} & {C_{n n}}\end{array}\right]$
通過乘法得到的矩陣的第一行第一列的元素是：
$\sum_{j=1}^{n} a_{1 j} C_{j 1}=\operatorname{det} A$
$AC^T$對角線上的每個元素都是上面計算得到的結果。現在我們需要驗證$AC^T$對角線以外的元素都是0
在二乘二的矩陣中，$A$的第一行乘$C^T$的第二列：$a(-b) + b(-a) = 0$，在高維矩陣中，$A$的第一行與$C^T$第二列的乘積可以看作是第一行第二行相同的矩陣（奇異矩陣）的行列式，故乘積為零。（比較繞口：根據行列式計算方法-某行元素分別與各自代數余子式相乘，然后加和。那么我們想象一下：$A$的第一行與$C^T$第二列的乘積可以看作是哪個矩陣的行列式呢？這個矩陣就是第一行和第二行相同的矩陣，其行列式為零）對於$AC^T$對角線以外的其他元素，道理相似，均為0，所以上面的計算逆矩陣公式得以驗證
通過上面的逆矩陣計算式子，可以了解當矩陣變化時，逆矩陣會如何變化
三、克拉默法則（關於$x=A^{-1}b$）
如果$A$是非奇異矩陣時，如果$Ax=b$，則$x=A^{-1}b$，結合$A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}$，則
$x=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}b$
克拉默（Crammer's rule）法則提供了一種分解上述等式的方式。為了得到克拉默法則，將$x$的每個部分進行單獨分析，因為$C^Tb$的第$i$部分是一組代數余子式和數字乘積之和，也可以看作是矩陣$B_j$的行列式，則有：
$x_{j}=\frac{\operatorname{det} B_{j}}{\operatorname{det} A}$
$B_j$是矩陣$A$中的第$j$列替換為$b$得到的：
但是需要記住的是，使用克拉默法則計算並沒有使用消元法效率高。
四、行列式求體積
1）$|det A|$=盒子的體積
$|det A|$是由$A$的列向量組成的平行六面體盒子的體積。（也可以用行向量組成不同的盒子，但是體積是相同的。
如果$A=I$，則盒子是單位立方體，其體積為$1$，與行列式性質一相同
如果$A=Q$，且是正交矩陣，則盒子是一個不同方向的單位立方體，體積為 $1=|det Q|$，因為正交，所以$Q^TQ=I$，根據行列式性質9和10，$\operatorname{det} Q=\pm 1$
交換$A$的兩列，並不會改變盒子的體積（因為$det A = det A^T$，交換兩列后行列式只是符號變化，絕對值不變）
2）知道盒子邊角坐標，求面積
如由$\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]$組成的平行四邊行面積為：$ad-bc$
由$\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]$組成的三角形的面積為平行四邊形的一半：$\frac{1}{2}(ad-bc)$
另外，由$(x_1, y_1), (x_2, y_2),(x_13 y_3)$構成的三角形的面積是：
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \\ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \\ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|$