部分分式展開法

引入

從高中學習數列的時候，我們曾經學過裂項法來將一個多項式分式裂開成多個一次分式相加的形式。

例如這樣：

\[\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} =\dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}) \]

當分母的次數是二次的時候，我們能比較容易地猜出來答案是怎么樣的。但如果式子是這樣的：

\[f(x) = \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} \]

分母次數大於 \(2\) ，或者不給出具體的 \(a_i\) 的時候，我們就很難通過猜根的方法來得到答案了。

觀察

為了得到一個通用的裂項方法，我們先來觀察一下式子：

\[f(x) = \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} = \dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \]

其中 \(b_i\) 都是常數。

顯然，我們的目標是得到一系列的系數 \(b_0, b_1, \cdots b_n\) ，那我們要怎么去得到系數呢？

如果我們把系數 \(b_i\) 當成一系列的未知數，那么其實這是不是一個 \(n\) 元方程？分別代入 \(n\) 個不同的 \(x\) 的值，就可以得到 \(n\) 個不同的方程，組成一個 \(n\) 元一次方程組。

不過，難道我們要用高斯消元去解這 \(n\) 個方程？？？我們再仔細思考一下，什么樣的方程組比較好解？

假如，當每個方程都只含一個變量 \(b_i\) 的時候，就是一個普通的一元一次方程，通過移項，我們就可以得到 \(b_i\) 的值了。

那么接下來的關鍵，就是找到一個特殊的值 \(x_i\) ，去消去 \(b_i\) 外的其他的 \(b\) 的值了。

解決

為了在代入 \(x_i\) 的值的時候消去除 \(b_i\) 以外的 \(b\) 的值，我們可以先保證 \(b_i\) 的系數里沒有 \(x\) 。

那么這就啟發我們，可以兩邊乘以 \(b_i\) 的系數的分母 \(x- b_i\) 。

當 \(i = 0\) 時，式子兩邊同時乘以 \(x - b_0\) ，那么便有如下的式子：

\[\begin{align} \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} &= \dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \\ \dfrac{1}{(x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)} &= b_0 + \dfrac{b_1}{x-a_1}(x-a_0)+ \dfrac{b_2}{x-a_2}(x-a_0) + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n}(x-a_0) \end{align} \]

我們再令 \(x = a_0\)，就可以得到其實 \(b_0\) 的值：

\[b_0 = \dfrac{1}{(a_0 - a_1) (a_0 - a_2) \cdots (a_0 - a_n)} = \prod_{i = 1}^n\dfrac{1}{a_0 - a_i} \]

同理，當我們要求 \(b_i\) 的時候，就有：

\[b_i = \prod_{j = 0, j \ne i}^n\dfrac{1}{a_i - a_j} \]

至此，我們就可以很輕易地得到任意 \(b_i\) 的值了。這就是部分分式展開式法。

注意

分子系數不為1

有時候，我們會遇到要裂項的式子里，分子不是 \(1\) ，也就是要裂項的式子如下：

\[f(x) = \dfrac{g(x)}{(x - a_0)(x - a_1) \cdots (x - a_n)} \]

其中 \(g(x)\) 為一個多項式（ \(g(x)\) 次數要低於 \(n\) )。

其實通過上面的手法，我們可以知道，通過一樣的手法，來得到答案。但為什么我要單獨拿出來說呢？

因為這里涉及到一個可不可以用部分分式展開的點，也就是我上面加粗的內容。

試想一下，我們要得到一個這樣的答案：

\[\dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \]

通過通分，我們可以很明顯地看到，分子的次數最高就是 \(n - 1\)，也就是當 \(g(x)\) 的次數高於 \(n - 1\) 的時候，我們就不可用這個方法來得到 \(b_i\) 了。

分母拆不成一次項相乘

由代數基本定理我們可以知道，任意一個多項式，都可以拆分為多個一次或者二次項相乘。所以我們只需要考慮分母為二次的時候的情況就行了。

對於二次項來說，分為三種情況：

1. 有兩個不同實數解
2. 有兩個共軛復數解
3. 有兩個相同實數解

對於1，2兩種來說，我們可以用同樣的方法來得到上面的答案。但是對於第三種來說，就拆不成兩個一次的形式相加了。我們需要轉變一下裂項的結果。

假如二次項如下：

\[\dfrac{p(x - a)+q}{(x - a)^2} \]

那么通過拆分，我們可以得到：

\[\dfrac{p}{x - a} + \dfrac{q}{(x - a)^2} \]

也就是說，當分母里含有一個有兩個相同實數解的二次項的時候，需要將二次項拆開成如上的形式。

練習

1. \(\dfrac{x + 4}{x^3 + 3x^2+2x}\)
2. \(\dfrac{x + 3}{(x + 1) ^3(x + 2)}\)

小技巧：求得各個系數后，可以令 \(x\) 等於一個還沒算過的值進行校驗等式兩邊是否相等。

（習題出自《信號與線性系統分析第四版》（吳大正主編））

答案

1. \(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 2}\)
2. \(\dfrac{2}{(x + 1) ^3} - \dfrac{1}{x + 1}+\dfrac{1}{x + 1}-\dfrac{1}{x + 2}\)