部分分式展開
部分分式展開的步驟主要為：
- 判斷有理分式是否為假分式，若是則將其化為真分式。
有理分式
\[\def\MY#1#2{ #1_{#2} x^{#2}} F(x) = \frac{N(x)}{D(x)}= \frac{ \MY{b}{m} + \MY{b}{m-1} + \cdots \MY{b}{1} + \MY{b}{0}}{x^n + \MY{a}{n-1} + \cdots \MY{a}{1} + \MY{a}{0}} \]若分子 \(N(x)\) 的最高次冪大於等於分母 \(D(x)\) 的最高次冪，則 \(F(x)\) 為假分式。
【例】\[\begin{aligned} F(x) &= \frac{2x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x}{x^2 + 4x + 3}\\ &= 2x^2 - 5x + 15 - \frac{43x+45}{x^2 + 4x + 3} \end{aligned} \]
- 假設 \(F(x)\) 是假分式，對分母 \(D(x)\) 進行因式分解，因子可分為3中情況：單根，重根，復根。
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單根
\[\def\MY#1{(x-x_{#1})} \def\MYS#1{\frac{k_{#1}}{x-x_{#1}}} \begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{\MY{1}\MY{2}\cdots\MY{n}}\\ &= \MYS{1} + \MYS{2} + \cdots \MYS{n} \end{aligned} \]其中，\(k_i = F(x)(x-x_i) |_{x=x_i}\)。
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重根
\[\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{(x-x_1)^r(x-x_{r+1})\cdots(x-x_n)}\\ &= \left[\frac{a_0}{(x-x_1)^r} + \frac{a_1}{(x-x_1)^{r-1}} + \cdots + \frac{a_{r-1}}{x-x_1} \right]+ \left( \frac{k_{r+1}}{x-x_{r+1}} + \cdots + \frac{k_{n}}{x-x_{n}} \right) \end{aligned} \]其中，從分式累加的形式可以推導出各個分式的系數：
\[\begin{aligned} a_0 &= F(x)(x-x_1)^r|_{x=x_1}\\ a_1 &= \frac{\mathrm{d}[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}x}|_{x=x_1}\\ a_2 &= \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d}^2[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}^2x}|_{x=x_1}\\ &\cdots\\ a_{r-1} &= \frac{1}{(r-1)!}\frac{\mathrm{d}^{r-1}[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}^{r-1}x}|_{x=x_1} \end{aligned} \] -
復根
若分母的因子中存在復根，復根總是共軛成對出現的，因此可以當做單根來進行處理。另外就是復根的系數也是共軛對稱的，即
\[\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_1^*)}\\ &= \frac{k_1}{x-x_1} + \frac{k_1^*}{x-x_1^*} \end{aligned} \]為避免復根，還可以將共軛復根只分解到二次因式的形式，如
\[\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{[(x+a)^2+b^2] (x-x_3) }\\ &= \frac{Ax+B}{(x+a)^2+b^2} + \frac{k_3}{x-x_3} \end{aligned} \]其中，單根的系數 \(k_3\) 求法同上。
對於二次因式的系數，求法需要一定的技巧性，
如上式中，求解出 \(k_3\) 后，令 \(x=0\)，得 \(F(0)=\frac{B}{b^2}-\frac{k_3}{x_3}\) 求解出的 \(B\)，再令 \(x = +\infty\)，求解出 \(A\)。
【例題】
\[\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2}{(x-1)^2}\\ &= \frac{(x-1)^2 + 2x - 1}{(x-1)^2}\\ &= 1 + \frac{2x-1}{(x-1)^2}\\ &= 1 + \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1}\\ A &= (2x-1)|_{x=1} = 1, \\ B &= \frac{d(2x-1)}{dx}|_{x=1} = 2\\ f(x) &= 1 + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} \end{aligned} \]