法國數學家傅里葉發現，任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與余弦函數作為基函數是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數為一種特殊的三角級數。
構建傅立葉級數的基礎
如果有一組n維空間的標准正交基向量q1,q2,…,qn，則n維空間內的任意向量v都可以用這組基的線性組合表示：
正交基向量：q1,q2,…,qn中的向量兩兩垂直（更多內容參考 線性代19——格拉姆-施密特正交化）。
對於標准正交向量來說，當i≠j時，qiTqj=0，當i=j時，qiTqj=1，可以根據這一特性在等式兩側同時乘以qiT，從而得到每個分量的系數xi的表達式：
也可以用矩陣相乘的方式表示v：
由於Q的列是標准正交的，所以Q的逆等於Q的轉置：
上述內容的關鍵是Q中的向量是標准正交的，標准正交也是在構建傅里葉級數的基礎。
傅立葉級數
對於任意一個周期函數f(x)，都可以使用傅里葉級數展開：
與之前有限個標准正交向量線性組合成的矩陣不同，這個維度是無限的，但關鍵的性質還是正交，正交性對sinx和cosx仍然成立，這使得傅里葉級數有意義，它的一組基是1, cosx, sinx, cos2x, sin2x…
函數的正交性
我們知道兩個向量正交的含義，並且可以用點積等於0判斷兩個向量的正交性，這種判斷方式也可以應用到函數上，但是函數的點積是什么？
v和w是Rn空間內的兩個正交向量，這意味着二者的點積為0：
與向量的點積展開式不同，函數是連續的，假設有兩個函數f(x)和g(x)，f(x)的周期是2π，我們希望盡可能用fTg的方式表示連續的累加，使得函數點積與向量點積的概念一致。積分正是函數連續累加的概念：
由此可以驗證sinx和cosx是正交的：
用相同的方式也可以驗證cosx和cos2x, sin2x…是正交的。
采用和標准正交向量相同的方式求得傅里葉級數的a1系數：
同理可以求得其它系數。
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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