進制轉換：二進制、八進制、十六進制、十進制之間的轉換

對於基礎薄弱的讀者，本節的內容可能略顯晦澀和枯燥，如果你覺得吃力，可以暫時跳過，基本不會影響后續章節的學習，等用到的時候再來閱讀。

上節我們對二進制、八進制和十六進制進行了說明，本節重點講解不同進制之間的轉換，這在編程中經常會用到，尤其是C語言。

將二進制、八進制、十六進制轉換為十進制

二進制、八進制和十六進制向十進制轉換都非常容易，就是“按權相加”。所謂“權”，也即“位權”。

假設當前數字是 N 進制，那么：

• 對於整數部分，從右往左看，第 i 位的位權等於N^i-1
• 對於小數部分，恰好相反，要從左往右看，第 j 位的位權為N^-j。

更加通俗的理解是，假設一個多位數（由多個數字組成的數）某位上的數字是 1，那么它所表示的數值大小就是該位的位權。

1) 整數部分

例如，將八進制數字 53627 轉換成十進制：

53627 = 5×8⁴ + 3×8³ + 6×8² + 2×8¹ + 7×8⁰ = 22423（十進制）

從右往左看，第1位的位權為 8⁰=1，第2位的位權為 8¹=8，第3位的位權為 8²=64，第4位的位權為 8³=512，第5位的位權為 8⁴=4096 …… 第n位的位權就為 8^n-1。將各個位的數字乘以位權，然后再相加，就得到了十進制形式。

注意，這里我們需要以十進制形式來表示位權。

再如，將十六進制數字 9FA8C 轉換成十進制：

9FA8C = 9×16⁴ + 15×16³ + 10×16² + 8×16¹ + 12×16⁰ = 653964（十進制）

從右往左看，第1位的位權為 16⁰=1，第2位的位權為 16¹=16，第3位的位權為 16²=256，第4位的位權為 16³=4096，第5位的位權為 16⁴=65536 …… 第n位的位權就為 16^n-1。將各個位的數字乘以位權，然后再相加，就得到了十進制形式。

將二進制數字轉換成十進制也是類似的道理：

11010 = 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 26（十進制）

從右往左看，第1位的位權為 2⁰=1，第2位的位權為 2¹=2，第3位的位權為 2²=4，第4位的位權為 2³=8，第5位的位權為 2⁴=16 …… 第n位的位權就為 2^n-1。將各個位的數字乘以位權，然后再相加，就得到了十進制形式。

2) 小數部分

例如，將八進制數字 423.5176 轉換成十進制：

423.5176 = 4×8² + 2×8¹ + 3×8⁰ + 5×8^-1 + 1×8^-2 + 7×8^-3 + 6×8^-4 = 275.65576171875（十進制）

小數部分和整數部分相反，要從左往右看，第1位的位權為 8^-1=1/8，第2位的位權為 8^-2=1/64，第3位的位權為 8^-3=1/512，第4位的位權為 8^-4=1/4096 …… 第m位的位權就為 8^-m。

再如，將二進制數字 1010.1101 轉換成十進制：

1010.1101 = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2^-1 + 1×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 10.8125（十進制）

小數部分和整數部分相反，要從左往右看，第1位的位權為 2^-1=1/2，第2位的位權為 2^-2=1/4，第3位的位權為 2^-3=1/8，第4位的位權為 2^-4=1/16 …… 第m位的位權就為 2^-m。

更多轉換成十進制的例子：

• 二進制：1001 = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十進制）
• 二進制：101.1001 = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十進制）
• 八進制：302 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ = 192 + 0 + 2 = 194（十進制）
• 八進制：302.46 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ + 4×8^-1 + 6×8^-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十進制）
• 十六進制：EA7 = 14×16² + 10×16¹ + 7×16⁰ = 3751（十進制）

將十進制轉換為二進制、八進制、十六進制

將十進制轉換為其它進制時比較復雜，整數部分和小數部分的算法不一樣，下面我們分別講解。

1) 整數部分

十進制整數轉換為 N 進制整數采用“除 N 取余，逆序排列”法。具體做法是：

• 將 N 作為除數，用十進制整數除以 N，可以得到一個商和余數；
• 保留余數，用商繼續除以 N，又得到一個新的商和余數；
• 仍然保留余數，用商繼續除以 N，還會得到一個新的商和余數；
• ……
• 如此反復進行，每次都保留余數，用商接着除以 N，直到商為 0 時為止。

把先得到的余數作為 N 進制數的低位數字，后得到的余數作為 N 進制數的高位數字，依次排列起來，就得到了 N 進制數字。

下圖演示了將十進制數字 36926 轉換成八進制的過程：

從圖中得知，十進制數字 36926 轉換成八進制的結果為 110076。

下圖演示了將十進制數字 42 轉換成二進制的過程：

從圖中得知，十進制數字 42 轉換成二進制的結果為 101010。

2) 小數部分

十進制小數轉換成 N 進制小數采用“乘 N 取整，順序排列”法。具體做法是：

• 用 N 乘以十進制小數，可以得到一個積，這個積包含了整數部分和小數部分；
• 將積的整數部分取出，再用 N 乘以余下的小數部分，又得到一個新的積；
• 再將積的整數部分取出，繼續用 N 乘以余下的小數部分；
• ……
• 如此反復進行，每次都取出整數部分，用 N 接着乘以小數部分，直到積中的小數部分為 0，或者達到所要求的精度為止。

把取出的整數部分按順序排列起來，先取出的整數作為 N 進制小數的高位數字，后取出的整數作為低位數字，這樣就得到了 N 進制小數。

下圖演示了將十進制小數 0.930908203125 轉換成八進制小數的過程：

從圖中得知，十進制小數 0.930908203125 轉換成八進制小數的結果為 0.7345。

下圖演示了將十進制小數 0.6875 轉換成二進制小數的過程：

從圖中得知，十進制小數 0.6875 轉換成二進制小數的結果為 0.1011。

如果一個數字既包含了整數部分又包含了小數部分，那么將整數部分和小數部分開，分別按照上面的方法完成轉換，然后再合並在一起即可。例如：

• 十進制數字 36926.930908203125 轉換成八進制的結果為 110076.7345；
• 十進制數字 42.6875 轉換成二進制的結果為 101010.1011。

下表列出了前 17 個十進制整數與二進制、八進制、十六進制的對應關系：

十進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
二進制	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
八進制	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
十六進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

注意，十進制小數轉換成其他進制小數時，結果有可能是一個無限位的小數。請看下面的例子：

• 十進制 0.51 對應的二進制為 0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一個循環小數；
• 十進制 0.72 對應的二進制為 0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一個循環小數；
• 十進制 0.625 對應的二進制為 0.101，是一個有限小數。

二進制和八進制、十六進制的轉換

其實，任何進制之間的轉換都可以使用上面講到的方法，只不過有時比較麻煩，所以一般針對不同的進制采取不同的方法。將二進制轉換為八進制和十六進制時就有非常簡潔的方法，反之亦然。

1) 二進制整數和八進制整數之間的轉換

二進制整數轉換為八進制整數時，每三位二進制數字轉換為一位八進制數字，運算的順序是從低位向高位依次進行，高位不足三位用零補齊。下圖演示了如何將二進制整數 1110111100 轉換為八進制：

從圖中可以看出，二進制整數 1110111100 轉換為八進制的結果為 1674。

八進制整數轉換為二進制整數時，思路是相反的，每一位八進制數字轉換為三位二進制數字，運算的順序也是從低位向高位依次進行。下圖演示了如何將八進制整數 2743 轉換為二進制：

從圖中可以看出，八進制整數 2743 轉換為二進制的結果為 10111100011。

2) 二進制整數和十六進制整數之間的轉換

二進制整數轉換為十六進制整數時，每四位二進制數字轉換為一位十六進制數字，運算的順序是從低位向高位依次進行，高位不足四位用零補齊。下圖演示了如何將二進制整數 10 1101 0101 1100 轉換為十六進制：

從圖中可以看出，二進制整數 10 1101 0101 1100 轉換為十六進制的結果為 2D5C。

十六進制整數轉換為二進制整數時，思路是相反的，每一位十六進制數字轉換為四位二進制數字，運算的順序也是從低位向高位依次進行。下圖演示了如何將十六進制整數 A5D6 轉換為二進制：

從圖中可以看出，十六進制整數 A5D6 轉換為二進制的結果為 1010 0101 1101 0110。

在C語言編程中，二進制、八進制、十六進制之間幾乎不會涉及小數的轉換，所以這里我們只講整數的轉換，大家學以致用足以。另外，八進制和十六進制之間也極少直接轉換，這里我們也不再講解了。

總結

本節前面兩部分講到的轉換方法是通用的，任何進制之間的轉換都可以采用，只是有時比較麻煩而已。二進制和八進制、十六進制之間的轉換有非常簡潔的方法，所以沒有采用前面的方法。