一、功能
產生拉普拉斯分布的隨機數。
二、方法簡介
1、產生隨機變量的組合法
將分布函數\(F(x)\)分解為若干個較為簡單的子分布函數的線性組合
\[F(x)=\sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x) \]
其中 $ p_{i}> 0 \ (\forall i) $ ，且 $ \sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，\(F(x)\)是分布函數。
定理 若隨機變量\(\xi \sim s\)離散分布\(\left \{ p_{i} \right \}\)，即\(P(\xi =i)=p_{i}\)，並且\(z \sim F_{\xi }(x)\)，取\(z=x\)，則\(z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)\)
證明 \(z\)的分布函數為
\[P(z \leqslant t) = P((z \leqslant t) \cap \bigcup_{i=1}^{K}( \xi = i)) \\ = \sum_{i=1}^{K}P(z \leqslant t, \xi =i) \\ = \sum_{i=1}^{K}P(\xi = i)P(z \leqslant t \mid \xi =i) \\ = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t) \]
定理證畢。
根據此定理，我們給出產生隨機數的組合算法如下：
- 產生一個正隨機數\(\xi\)，使得\(P(\xi = i) = p_{i} \ (i = 1,2,...,K)\)；
- 在\(\xi = i\)時，產生具有分布函數\(F_{i}(x)\)的隨機變量\(x\)。
該算法中首先以概率\(p_{i}\)選擇子分布函數\(F_{i}(x)\)，然后取\(F_{i}(x)\)的隨機數作為\(F(x)\)的隨機數。
2、產生拉普拉斯分布隨機數的方法
拉普拉斯分布的概率密度函數為
\[f(x) = \frac{1}{2\beta }e^{-\frac{\left | x \right |}{\beta }} \]
Laplace分布的均值為0，方差為\(2\beta ^{2}\)。拉普拉斯分布也稱為雙指數分布。
根據上述的組合算法，產生拉普拉斯分布隨機數的方法為：
- 產生均勻分布的隨機數\(u_{1}\)和\(u_{2}\)，即\(u_{1},u_{2} \sim U(0,1)\)；
- 計算\(x = \left\{\begin{matrix} -\beta \ ln(1 - u_{1}) & u_{1} \leqslant 0.5 \\ \beta \ ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5 \end{matrix}\right.\)
三、使用說明
使用C語言實現產生拉普拉斯分布隨機數的方法：
#include "math.h"
#include "uniform.c"
double laplace(double beta, long int *s)
{
u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
if(u1 <= 0.5)
x = -beta * log(1.0 - u2);
else
x = beta * log(u2);
return(x);
}
uniform.c文件參見均勻分布的隨機數