設實數$\lambda >0$,若對任意的$x\in(e^2,+\infty)$,不等式$\lambda e^{\lambda x}-\ln x>0$恆成立,則$\lambda$的最小值為_____
提示:反函數,由題意$e^{\lambda x}\ge \dfrac{\ln x}{\lambda}$,注意到$y=e^{\lambda x}$與$y=\dfrac{\ln x}{\lambda}$ 是互為反函數.
求$y=x$與$y=e^{\lambda x}$的切點易得為$(e,e)$此時$\lambda=\dfrac{1}{e}$.由於$x\in (e^2,+\infty)$結合圖像知$\lambda\ge\dfrac{2}{e^2}$
注:若條件改為$x>0$時恆成立,則$\lambda\ge \dfrac{1}{e}$.此時$e^{\lambda x}\ge e^{\dfrac{1}{e}x}\ge x$.
(這一步用到了常見不等式$e^x=e*e^{x-1}\ge ex$)
由反函數圖像知道此時$e^{\lambda x}\ge x\ge\dfrac{\ln x}{\lambda}$成立.
練習:已知函數$f(x)=me^x-\ln\dfrac{x}{m}(m>0)$,若關於$x$的不等式$f(x)>0$恆成立,求$m$的取值范圍_____
答案$\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)$