前言
本博文主要總結常見函數的圖像的做法，為便於大家掌握，分類予以說明；
- 函數圖像的做法回顧：常函數的平行線法；冪函數、指數函數、對數函數的關鍵點法；一次函數的兩點法；二次函數的五點法或三點法；分段函數的分段法+截取法；復合函數的單調復合法；抽象函數的依托具體函數法；作圖過程中還需要注意圖像的單調性，奇偶性，周期性，特殊點，凹凸性，等等。
相關鏈接
1、函數圖像的變換；
2、圖像的作用
基本函數
熟練掌握常見的基本初等函數的圖像的手工作圖方法，在此列舉函數的代表。
- 常函數，比如\(f(x)=2\)；
圖像是經過點\((0，2)\)的平行於\(x\)軸的一條直線；圖像略。
- 冪函數，比如\(y=x^{\frac{1}{3}}\)，
奇函數，故重點做\(x\in [0，+\infty)\)上的圖像，又冪指數\(\alpha=\frac{1}{3}\in (0,1)\)，故經過關鍵點\((0,0)\)和\((1,1)\)，且在\([0，+\infty)\)上呈上凸函數式單調遞增，等到做出\([0，+\infty)\)上的圖像后，再將其關於原點對稱，這樣就做出了其完整圖像。
特別強調反比例函數，即冪函數\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)，是高中數學中圖像變換的一個頂梁柱。
- 指數函數，比如\(f(x)=(\cfrac{1}{2})^x\)，經過關鍵點\((0,1)\)，\((-1,2)\)，\((1,\cfrac{1}{2})\)的單調遞減的下凹式函數。
- 對數函數，比如\(f(x)=log_2x\)，經過關鍵點\((1,0)\)，\((2,1)\)，\((\cfrac{1}{2}，-1)\)的單調遞增的上凸式函數。
- 三角函數，比如\(f(x)=sinx\)，在周期\([0,2\pi]\)內經過五個關鍵點\((0,0)\)，\((\cfrac{\pi}{2},1)\)，\((\pi,0)\)，\((\cfrac{3\pi}{2},-1)\)，\((2\pi,0)\)的光滑正弦曲線。
- 正弦型函數圖像；求\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)的值域；
初等函數
[一次函數]：用兩點法作圖，比如\(y=f(x)=2x+1\)，其圖像是一條直線，必然經過和\(x\)軸的交點\((-\cfrac{1}{2}，0)\)[令\(y=0\)，解方程就可以求得\(x=-\cfrac{1}{2}\)，故經過點\((-\cfrac{1}{2}，0)\)]，也必然經過和\(y\)軸的交點\((0，1)\)[令\(x=0\)，解方程就可以求得\(y=1\)，故經過點\((0，1)\)]，將兩點連成一條直線即可。圖略。
[二次函數]：用五點法作圖，比如\(y=f(x)=x^2-3x+2\)，欲作圖，先配方得到\(f(x)=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，則圖像的最低點為\((\cfrac{3}{2}，-\cfrac{1}{4})\)；
令\(x^2-3x+2=0\)，得到圖像與\(x\)軸的兩個交點\((1,0)\)和\((2,0)\)；令\(x=0\)，即\(y=2\)，得到圖像與\(y\)軸的交點\((0,2)\)；
又點\((0，2)\)關於對稱軸\(c=\cfrac{3}{2}\)的對稱點的坐標為\((3,2)\)，到此五個點的坐標都得到了，做出如下的圖像即可。
分段函數
之所以提醒各位，要非常熟練的掌握上述的基本初等函數和初等函數的作圖方法，主要是分段函數中的每一段基本都是上述的圖像；舉例如下，
比如函數\(f(x)=2^{|x|}=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x\geqslant 0}\\{2^{-x}，x<0}\end{array}\right.\)，先做出函數\(y=2^x\)圖像，從其圖像上截取\(x\geqslant 0\)這一段圖像[從豎直方向上看只要其橫坐標\(x\geq 0\)即可]就是我們所要的第一段；再做函數\(y=2^{-x}=(\cfrac{1}{2})^x\)圖像，從其圖像上截取\(x<0\)這一段圖像就是我們所要的第二段；這兩段共同構成了我們想要的分段函數的圖像。
含參函數
]已知\(a>0\)，函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞增，求\(a\)的取值范圍。
分析：由題目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)
解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；
反思：1、本題目常犯的錯誤是缺少第三條的限制；學生常認為函數在兩段上分別單調遞增，則在整體定義域\(R\)上一定單調遞增，這個認知是錯誤的。原因是前者是后者的必要不充分條件。
含參函數圖像做法練習：
\(f(x)=e^x+a\)，\(g(x)=k|x-1|\)，
函數\(f(x)=(2ax-1)(x+1)(a\geq 0)\)的圖像做法如下：
復合函數
\(g(x)=2^{1-|x-2|}\)
復合函數的圖像比較抽象，我們結合函數\(f(x)=log_2(x^2-3x+2)\)為例說明；
令\(u=x^2-3x+2\)，則內函數為二次函數，由於在\([1,2]\)上函數值\(u\leqslant 0\)，故復合函數在區間\([1，2]\)上沒有圖像，
外函數\(y=f(x)=log_2u\)為對數函數，由於內函數在區間\((-\infty，1)\)上單調遞減，在區間\((2，+\infty)\)上單調遞增，
故復合函數的單調遞減區間為\((-\infty，1)\)，單調遞增區間為\((2，+\infty)\)，
故做出復合函數圖像如下圖中的藍色曲線，其中直線\(x=1\)和\(x=2\)為其兩條漸近線。
抽象函數
分析：由題目可知，\(T=4\)，故\(f(x+4)=f(x)\)，又\(f(-x)=f(x)\)，則可知\(f(x+4)=f(-x)\)，故函數圖像關於\(x=2\)對稱，
利用現有的定義域，奇偶性，周期性，對稱性和解析式，做出適合題意的圖像如下：
要是方程\(f(x)=log_ax\)有三個不同的實根，則需要滿足\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{log_a6<2}\\{log_a10>2}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a^2>6}\\{a^2<10}\end{array}\right.\)，
解得\(a\in (\sqrt{6}，\sqrt{10})\)。
組合函數，
對於下述的幾個函數，若在題目中出現，我們往往不需要作出函數圖像，只需要分析清楚其性質即可解決題目，如非要做出圖像，也是可以的；
以函數\(y=e^{1+|x|}-\cfrac{1}{1+x^2}\)為例，分析其各種常用的性質，等性質分析清楚后，圖像自然就可以手動做出了。
定義域為\((-\infty，+\infty)\)，偶函數，接下來分析單調性，
當\(x\geqslant 0\)時，函數變形為\(y=e^{1+x}-\cfrac{1}{1+x^2}\)，由於\(y=1+x\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，故\(y=e^{1+x}\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，又由於\(y=1+x^2\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，故\(y=-\cfrac{1}{1+x^2}\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，這樣兩個部分組合而成的函數\(y=e^{1+x}-\cfrac{1}{1+x^2}\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，又由於是偶函數，故在\((-\infty，0]\)上單調遞減，又\(x=0\)時，\(y=e-1\)，故做出示意圖如下：
仿照上述的做法過程，我們也可以做出\(y=ln(1+|x|)-\cfrac{1}{1+x^2}\)的圖像。
作圖模板
①以\(f(x)=2^{|x|}\)為模板，可以做函數\(y=2^{|x\pm 3|}\)的圖像；
②以\(f(x)=log_2|x|\)為模板，可以做函數\(y=log_2|x\pm 3|\)的圖像；
③以\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)為模板，可以做函數\(y=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)的圖像；
高階作圖
\(f(x)=(2e^x+a)(e^x-a)\)，拆分，將兩個函數作圖於同一個坐標系，讀圖，應用。待整理。
正加正，正乘正
高階提升
1、特殊分段函數的圖像做法；
用圖解題
（1）討論\(f(x)\)的單調性；
分析：利用導數求導解決，
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=\)\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
以下針對\(a\)分類討論如下：
當\(a=0\)時，\(f'(x)>0\)恆成立，\(f(x)\)在區間\((-\infty，+\infty)\)上單調遞增。
當\(a>0\)時，令\(e^x>a\)，解得\(x>lna\)，\(f'(x)>0\)，即在區間\((lna，+\infty)\)上函數\(f(x)\)單調遞增；
令\(e^x<a\)，解得\(x<lna\)，\(f'(x)<0\)，即在區間\((-\infty，lna)\)上函數\(f(x)\)單調遞減；
當\(a<0\)時，令\(e^x>-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x>ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)>0\)，即在區間\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函數\(f(x)\)單調遞增；
令\(e^x<-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x<ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)<0\)，即在區間\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函數\(f(x)\)單調遞減；
綜上所述，當\(a<0\)時，函數\(f(x)\)的單減區間是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，單增區間是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
當\(a=0\)時，單增區間是\((-\infty，+\infty)\)，無單減區間；
當\(a>0\)時，函數\(f(x)\)的單減區間是\((-\infty，lna)\)，單增區間是\((lna，+\infty)\)；
（2）若\(f(x)\ge 0\)，求\(a\)的取值范圍。
分析：由於要\(f(x)\ge 0\)恆成立，故只要求得\(f(x)_{min}\ge 0\)即可，又最小值要用到函數的單調性，而函數的單調性又是與\(a\)的取值有關，故應該關於\(a\)分類討論。
當\(a<0\)時，函數\(f(x)\)的單減區間是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，單增區間是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
故\(f(x)_{min}=f(ln(-\cfrac{a}{2}))=e^{ln(-\frac{a}{2})}(e^{ln(-\frac{a}{2})}-a)-a^2ln(-\cfrac{a}{2})=a^2[\cfrac{3}{4}-ln(-\cfrac{a}{2})]\)，
令\(=a^2[\cfrac{3}{4}-ln(-\cfrac{a}{2})]\geqslant 0\) 得到\(a\geqslant -2e^{\frac{3}{4}}\)，故\(-2e^{\frac{3}{4}}\leq a <0\)；
當\(a=0\)時，\(f(x)=e^{2x}\ge 0\)恆成立，故\(a=0\)滿足題意；
當\(a>0\)時，函數\(f(x)\)的單減區間是\((-\infty，lna)\)，單增區間是\((lna，+\infty)\)；
故\(f(x)_{min}=f(lna)=e^{lna}(e^{lna}-a)-a^2lna=-a^2lna\)，令\(-a^2lna\ge 0\)，得到\(a\leq 1\)，故\(0<a \leq 1\)；
綜上所述，取並集得到\(a\)的取值范圍是\([-2e^{\frac{3}{4}}，1]\)。