前言
本博文主要总结常见函数的图像的做法，为便于大家掌握，分类予以说明；
- 函数图像的做法回顾：常函数的平行线法；幂函数、指数函数、对数函数的关键点法；一次函数的两点法；二次函数的五点法或三点法；分段函数的分段法+截取法；复合函数的单调复合法；抽象函数的依托具体函数法；作图过程中还需要注意图像的单调性，奇偶性，周期性，特殊点，凹凸性，等等。
相关链接
1、函数图像的变换；
2、图像的作用
基本函数
熟练掌握常见的基本初等函数的图像的手工作图方法，在此列举函数的代表。
- 常函数，比如\(f(x)=2\)；
图像是经过点\((0，2)\)的平行于\(x\)轴的一条直线；图像略。
- 幂函数，比如\(y=x^{\frac{1}{3}}\)，
奇函数，故重点做\(x\in [0，+\infty)\)上的图像，又幂指数\(\alpha=\frac{1}{3}\in (0,1)\)，故经过关键点\((0,0)\)和\((1,1)\)，且在\([0，+\infty)\)上呈上凸函数式单调递增，等到做出\([0，+\infty)\)上的图像后，再将其关于原点对称，这样就做出了其完整图像。
特别强调反比例函数，即幂函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)，是高中数学中图像变换的一个顶梁柱。
- 指数函数，比如\(f(x)=(\cfrac{1}{2})^x\)，经过关键点\((0,1)\)，\((-1,2)\)，\((1,\cfrac{1}{2})\)的单调递减的下凹式函数。
- 对数函数，比如\(f(x)=log_2x\)，经过关键点\((1,0)\)，\((2,1)\)，\((\cfrac{1}{2}，-1)\)的单调递增的上凸式函数。
- 三角函数，比如\(f(x)=sinx\)，在周期\([0,2\pi]\)内经过五个关键点\((0,0)\)，\((\cfrac{\pi}{2},1)\)，\((\pi,0)\)，\((\cfrac{3\pi}{2},-1)\)，\((2\pi,0)\)的光滑正弦曲线。
- 正弦型函数图像；求\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)的值域；
初等函数
[一次函数]：用两点法作图，比如\(y=f(x)=2x+1\)，其图像是一条直线，必然经过和\(x\)轴的交点\((-\cfrac{1}{2}，0)\)[令\(y=0\)，解方程就可以求得\(x=-\cfrac{1}{2}\)，故经过点\((-\cfrac{1}{2}，0)\)]，也必然经过和\(y\)轴的交点\((0，1)\)[令\(x=0\)，解方程就可以求得\(y=1\)，故经过点\((0，1)\)]，将两点连成一条直线即可。图略。
[二次函数]：用五点法作图，比如\(y=f(x)=x^2-3x+2\)，欲作图，先配方得到\(f(x)=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，则图像的最低点为\((\cfrac{3}{2}，-\cfrac{1}{4})\)；
令\(x^2-3x+2=0\)，得到图像与\(x\)轴的两个交点\((1,0)\)和\((2,0)\)；令\(x=0\)，即\(y=2\)，得到图像与\(y\)轴的交点\((0,2)\)；
又点\((0，2)\)关于对称轴\(c=\cfrac{3}{2}\)的对称点的坐标为\((3,2)\)，到此五个点的坐标都得到了，做出如下的图像即可。
分段函数
之所以提醒各位，要非常熟练的掌握上述的基本初等函数和初等函数的作图方法，主要是分段函数中的每一段基本都是上述的图像；举例如下，
比如函数\(f(x)=2^{|x|}=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x\geqslant 0}\\{2^{-x}，x<0}\end{array}\right.\)，先做出函数\(y=2^x\)图像，从其图像上截取\(x\geqslant 0\)这一段图像[从竖直方向上看只要其横坐标\(x\geq 0\)即可]就是我们所要的第一段；再做函数\(y=2^{-x}=(\cfrac{1}{2})^x\)图像，从其图像上截取\(x<0\)这一段图像就是我们所要的第二段；这两段共同构成了我们想要的分段函数的图像。
含参函数
]已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。
分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)
解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；
反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。
含参函数图像做法练习：
\(f(x)=e^x+a\)，\(g(x)=k|x-1|\)，
函数\(f(x)=(2ax-1)(x+1)(a\geq 0)\)的图像做法如下：
复合函数
\(g(x)=2^{1-|x-2|}\)
复合函数的图像比较抽象，我们结合函数\(f(x)=log_2(x^2-3x+2)\)为例说明；
令\(u=x^2-3x+2\)，则内函数为二次函数，由于在\([1,2]\)上函数值\(u\leqslant 0\)，故复合函数在区间\([1，2]\)上没有图像，
外函数\(y=f(x)=log_2u\)为对数函数，由于内函数在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，
故复合函数的单调递减区间为\((-\infty，1)\)，单调递增区间为\((2，+\infty)\)，
故做出复合函数图像如下图中的蓝色曲线，其中直线\(x=1\)和\(x=2\)为其两条渐近线。
抽象函数
分析：由题目可知，\(T=4\)，故\(f(x+4)=f(x)\)，又\(f(-x)=f(x)\)，则可知\(f(x+4)=f(-x)\)，故函数图像关于\(x=2\)对称，
利用现有的定义域，奇偶性，周期性，对称性和解析式，做出适合题意的图像如下：
要是方程\(f(x)=log_ax\)有三个不同的实根，则需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{log_a6<2}\\{log_a10>2}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a^2>6}\\{a^2<10}\end{array}\right.\)，
解得\(a\in (\sqrt{6}，\sqrt{10})\)。
组合函数，
对于下述的几个函数，若在题目中出现，我们往往不需要作出函数图像，只需要分析清楚其性质即可解决题目，如非要做出图像，也是可以的；
以函数\(y=e^{1+|x|}-\cfrac{1}{1+x^2}\)为例，分析其各种常用的性质，等性质分析清楚后，图像自然就可以手动做出了。
定义域为\((-\infty，+\infty)\)，偶函数，接下来分析单调性，
当\(x\geqslant 0\)时，函数变形为\(y=e^{1+x}-\cfrac{1}{1+x^2}\)，由于\(y=1+x\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，故\(y=e^{1+x}\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，又由于\(y=1+x^2\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，故\(y=-\cfrac{1}{1+x^2}\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，这样两个部分组合而成的函数\(y=e^{1+x}-\cfrac{1}{1+x^2}\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，又由于是偶函数，故在\((-\infty，0]\)上单调递减，又\(x=0\)时，\(y=e-1\)，故做出示意图如下：
仿照上述的做法过程，我们也可以做出\(y=ln(1+|x|)-\cfrac{1}{1+x^2}\)的图像。
作图模板
①以\(f(x)=2^{|x|}\)为模板，可以做函数\(y=2^{|x\pm 3|}\)的图像；
②以\(f(x)=log_2|x|\)为模板，可以做函数\(y=log_2|x\pm 3|\)的图像；
③以\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)为模板，可以做函数\(y=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)的图像；
高阶作图
\(f(x)=(2e^x+a)(e^x-a)\)，拆分，将两个函数作图于同一个坐标系，读图，应用。待整理。
正加正，正乘正
高阶提升
1、特殊分段函数的图像做法；
用图解题
（1）讨论\(f(x)\)的单调性；
分析：利用导数求导解决，
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=\)\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
以下针对\(a\)分类讨论如下：
当\(a=0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立，\(f(x)\)在区间\((-\infty，+\infty)\)上单调递增。
当\(a>0\)时，令\(e^x>a\)，解得\(x>lna\)，\(f'(x)>0\)，即在区间\((lna，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
令\(e^x<a\)，解得\(x<lna\)，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，lna)\)上函数\(f(x)\)单调递减；
当\(a<0\)时，令\(e^x>-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x>ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)>0\)，即在区间\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
令\(e^x<-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x<ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减；
综上所述，当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；
当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，lna)\)，单增区间是\((lna，+\infty)\)；
（2）若\(f(x)\ge 0\)，求\(a\)的取值范围。
分析：由于要\(f(x)\ge 0\)恒成立，故只要求得\(f(x)_{min}\ge 0\)即可，又最小值要用到函数的单调性，而函数的单调性又是与\(a\)的取值有关，故应该关于\(a\)分类讨论。
当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
故\(f(x)_{min}=f(ln(-\cfrac{a}{2}))=e^{ln(-\frac{a}{2})}(e^{ln(-\frac{a}{2})}-a)-a^2ln(-\cfrac{a}{2})=a^2[\cfrac{3}{4}-ln(-\cfrac{a}{2})]\)，
令\(=a^2[\cfrac{3}{4}-ln(-\cfrac{a}{2})]\geqslant 0\) 得到\(a\geqslant -2e^{\frac{3}{4}}\)，故\(-2e^{\frac{3}{4}}\leq a <0\)；
当\(a=0\)时，\(f(x)=e^{2x}\ge 0\)恒成立，故\(a=0\)满足题意；
当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，lna)\)，单增区间是\((lna，+\infty)\)；
故\(f(x)_{min}=f(lna)=e^{lna}(e^{lna}-a)-a^2lna=-a^2lna\)，令\(-a^2lna\ge 0\)，得到\(a\leq 1\)，故\(0<a \leq 1\)；
综上所述，取并集得到\(a\)的取值范围是\([-2e^{\frac{3}{4}}，1]\)。