常見反函數、反函數導數（微分）公式

0. 反函數基本認識

• 互為反函數之反函數的相互性： g(x) 是 f(x) 的反函數，則 f(x) 也是 g(x) 的反函數；
  
  • f(g(x))=x , g(f(x))=x

1. 反函數導數公式

MORE RULES FOR DERIVATIVES

如果函數 g(x) 是 f(x) 的反函數，那么就有：

dgdx=1df(g)d(g)

證明，所謂反函數即為： f(g(x))=x ，所以有（對其兩邊求導數）：

1=dfdgdgdx⇒dgdx=1df(g)d(g)

簡單舉例應用：

f(x)=x2,g(x)=x√ ，求 d(g)/d(x) （ f(g)=g2 ）

dgdx=1dfdg=12g=12x√

我們再來求反三角函數的相關微分：

darcsinxdx=1dsinydy=1cosy=11−x2−−−−−√

（ y=arcsinx⇒siny=x （把 y 當成直角三角形的某個銳角） ⇒ cosy=1−x2−−−−−√ ）