和其它問題一樣，概率也可能同時受到多個條件的影響，例如考察某地區中學生的身體素質，隨機地選取一名學生，觀察學生的身高 X，體重 Y 和肺活量 Z 等指標。隨機變量 X，Y，Z 來自同一樣本空間，它們的取值可能相互影響。像這樣同時考慮的多個隨機變量，稱為多維隨機變量。本章以二維隨機變量為例，介紹多維隨機變量的相關概念。
聯合分布
和一維變量的概率分布類似，聯合分布把舞台擴展到了多維，這里的“聯合”就是多個隨機變量的意思。
假設一個事件受到兩個變量x和y的影響，它的聯合分布定義為：
其中X表示具體的取值，x表示變量。
上一章提到過，分布是指概率的累加，是把事件映射為數字，一個二維聯合分布的變量取值范圍是整個二維平面，但F(x,y)的取值范圍是0~1。
離散型
聯合概率
聯合概率指的是包含多個條件且所有條件同時成立的概率，也叫聯合分布率。
用xi和yj的兩個隨機變量所有可能的取值，P(X=xi, Y=yj)表示在X=xi和Y=yj下事件發生的概率。設P(X=xi, Y=yj)=pij，則下表是二維離散型隨機變量(X, Y)的聯合概率：
聯合分布率實際上是一個矩陣。既然是概率，聯合概率也滿足下面兩個條件：
聯合分布
一維隨機變量的分布函數：
二維隨機變量的分布函數：
其中：
分布函數和分布略有區別，“分布”是指累加概率，“分布函數”是將累加概率函數化。F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}是分布函數，它的值是所有在X≤x,Y≤y下的概率分布。
邊緣分布
先看表1的第一行，它固定了x=x1，此時在表格右側加入一列：
p1·表示x的取值固定，y取任意值時的概率分布，即：
由於p1·是寫在表格的邊緣，所以稱為x=x1的邊緣分布。對於任意行來說：
這實際上是在表示X= xi時事件發生的概率。類似的，y=yj的邊緣分布是：
條件概率
條件概率是指在A事件發生的條件下，事件B發生的概率，表示為P(B|A)，它有一個重要公式：
多維隨機變量的條件概率公式與此類似，在Y=yj 條件下X=xi的概率：
獨立性
對於二維離散型隨機變量(X, Y)來說，如果滿足：
那么這兩個隨機變量之間是沒有相互影響的，稱X和Y之間互相獨立。反過來也一樣，如果滿足了獨立性，那么必然有上式的關系。
連續型
由於是連續型變量，所以無法像離散型變量那樣簡單地計算在某一點的概率（概率可以表示為幾何度量，點的度量是0，因此算某一點的概率也是0，或者說計算點的概率沒有意義），只能計算某一取值范圍內的概率，也就是概率分布（概率的累加）。
聯合概率密度函數和聯合分布
某個地區的人口密度越大，這個地區的人口越多。同樣的，概率密度越大，說明這個區域的發生某件事的概率越大。
設F(x,y)是二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合分布函數，如果存在一個非負函數f(x,y)，對於任意實數x,y，有：
則稱f(x,y)是二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數。
u和v在計算后定積分后會被x和y代替。可以對比上一章中一維隨機變量的分布函數來理解F(x,y)。概率分布是概率的累加，而累加正好是積分的定義。在幾何上，F(x,y)表示了曲面柱體的體積：
假設在R區域上，x1<x<x2, y1<y<y2，那么該區域上的概率分布是：
dydx是R上的面積積元，它是面積無限接近0的小矩形，但不是0。至此，概率和多重積分聯系到一起。上式中沒有u和v，這是由於已經確定了x和y的取值范圍，且f本來就是關於x和y的函數，因此沒必要再引入u和v。如果非要使用u和v，那么上式等價於：
由於F是分布函數，因此在整個定義域上滿足：
邊緣分布和邊緣密度函數
聯合分布表達的是二維隨機變量(X, Y)的整體分布，同時X和Y也有各自的邊緣分布。與離散型類似，連續型隨機變量的邊緣分布是只認為有一個變量，其它變量都看作常量。
X的邊緣分布，表示將x看作常量，不管Y的取值：
Y的邊緣分布，表示將y看作常量，不管x的取值：
設(X, Y)的聯合密度函數是f(x,y)，那么(X, Y)的聯合分布可以表示為：
X的邊緣分布限定了X的取值是X≤x，y可以取任意值，此時X的邊緣分布可以寫成：
分布代表了累加，連續型分布是用積分表示的，FX(x)表示P{X≤x, Y<∞}的累加，是對dx的積分，因此X的邊緣分布的密度函數是上式的內積分：
把u,v換成x,y，X的邊緣分布的密度函數是：
類似的，Y的邊緣分布的密度函數是：
條件分布和條件密度函數
條件概率公式：
對於連續型變量來說，單點的概率沒有意義，因此將上式推廣到連續型隨機變量后就變成了“分布”，比如給定Y值的條件下X的概率分布。
設(X, Y)的聯合密度函數是f(x,y)，邊緣密度函數是fX(x)和fY(y)，如果固定x，則稱下式為X=x條件下Y的概率密度：
同樣，Y=y條件下X的概率密度：
有了概率密度，自然可以求得相應的分布，給定Y值的條件下X的概率分布：
獨立性
對於二維連續型隨機變量(X, Y)來說，如果滿足：
那么這兩個隨機變量之間是沒有相互影響的，稱X和Y之間互相獨立。反過來也一樣，如果滿足了獨立性，那么必然有上式的關系。
二維均勻分布
設R是平面上的有界區域，面積為A，若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度：
則稱(X, Y)在R上服從均勻分布。
如果在R區域上x在x1<x<x2上服從均勻分布，那么X在x1<x<x2的邊緣分布的密度函數是：
若(X, Y) 服從R區域上的均勻分布，則對於R上的任一子區域D，都有：
上式實際上是在說，如果(X,Y)在某個區域內服從均勻分布，則意味着(X,Y)在該區域內具有“等可能”性。
二維正態分布
若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度：
則稱(X,Y)服從參數為 的二維正態分布，記作：
f(x,y)的是一個倒鍾型曲面：
示例
示例1
X服從(0,1)上的均勻分布，在X=x(0<x<1)的條件下，Y在(0,x)內服從均勻分布，f(x,y)=?, 2. fY(y)=?
先看1，X服從某一個區域的邊緣分布意味着：
X服從(0,1)上的均勻分布，則x1 = 0, x2 = 1：
“Y在(0,x)內服從均勻分布”:
2. Y的邊緣分布的密度函數是：
現在只需要確定的積分域即可，由0<y<x<1可知，積分上限是1，下限是y：
示例2
設二維隨機變量(X, Y)的聯合概率密度是：
1. A=? 2.求分布函數F(x,y) 3.求概率P{Y≤X}
1. 整個定義域上分布函數滿足：
作者：我是8位的
