前言
與2018年相比，選擇填空題增加1道數學文化、1道概率；減少三視圖、線性規划、流程圖、排列組合和二項式定理模塊；
一、選擇題
分析：考查集合的運算和解不等式。
解析：化簡\(A=(-\infty，2)\cup(3，+\infty)\)，\(B=(-\infty，1)\)，故\(A\cap B=(-\infty，1)\)，故選\(A\)。
解后反思：這類題目往往不難，但是會做這類題並不代表你的數學功底很扎實，所以借助下面的博文好好檢查自己的數學基礎，尤其是數學計算功底。
相關鏈接：1、集合知識點 ；2、集合習題 ；3、各種不等式的解法收集 ；4、不等式解法訓練題 ；
分析：考查復數的相關概念和復數與復平面內點的對應性；
解析：\(\bar{z}=-3-2i\)，故\(\bar{z}\)所對應的點為\(Z(-3，-2)\)，故選\(C\).
分析：考查向量的運算，向量的坐標表示，向量的內積的坐標表示；
解析：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(3，-t)-(2，3)=(1，t-3)\)，由於\(|\overrightarrow{BC}|=1\)，
則\(\sqrt{1^2+(t-3)^2}=1\)，解得\(t=3\)，即\(\overrightarrow{BC}=(1，0)\)，
故\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\times 1+3\times 0=2\)，故選\(C\).
解后反思：切記勿混淆；設\(\vec{a}=(x_1，y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2，y_2)\)；
則\(\vec{a}//\vec{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0\)；
則\(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0\)，
相關鏈接：1、平面向量；
將高考真題中的物理知識背景省略，高度抽象就得到了如下的數學題目：
已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，試用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值；
分析：聯系到本年度的Ⅱ卷高考數學題目的解答，首先要突破的是對題意的理解，大體意思就是，給定了一個方程，要求你將方程中的\(r\)求解出來，但是由於是用手工計算，為了降低難度，給了一個近似參考公式，你必須使用這個近似計算公式，才能順利求解。理解了題意之后，還有一個問題，就是該如何使用近似計算公式。由於近似計算中提到了\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，所以我們需要首先讓方程中出現\(\alpha\)，使用\(\cfrac{r}{R}=\alpha\)代換，求解到最后，再使用\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，讓式子中出現\(r\)，計算即可。
解析： 由題設\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，給方程兩邊的分母同時除以\(R^2\)，得到
即\(\cfrac{M_1}{\frac{(R+r)^2}{R^2}}+\cfrac{M_2}{\frac{r^2}{R^2}}=(R+r)\cfrac{M_1}{\frac{R^3}{R^2}}\)，變形得到，
\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R}\)，即\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，
然后通分整理，得到，\(\alpha^2M_1+(1+\alpha)^2M_2=(1+\alpha)^3\cdot \alpha^2M_1\)，
則有\((1+\alpha)^2M_2=\alpha^2M_1+(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1-\alpha^2M_1\)，
即\((1+\alpha)^2M_2=(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1\)，則\(\cfrac{M_2}{M_1}=\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\)，
即\(\cfrac{M_2}{M_1}\approx 3\alpha^3\)，則\(\alpha^3\approx \cfrac{M_2}{3M_1}\)，
故\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，即\(\cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，則\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故選\(D\)。
【解后反思】
- 1、你怎么強化自己的閱讀理解能力都不嫌過分；近似計算的思路分析過程要清楚；運算功底要扎實，到位。
- 2、\((1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^2+\alpha^3\)；\((a\pm b)^3=a^3\mp 3a^2b\pm 3ab^2-b^3\)；
- 3、整個求解過程中的換元法的使用思路：
\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\) \(\xlongequal[同乘以R^2，變形]{為引入\alpha，便於近似計算}\)
\(\stackrel{\frac{r}{R}=>\alpha}{\Longrightarrow} \cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，
整理變形，得到\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)， \(\stackrel{\alpha=>\frac{r}{R}}{\Longrightarrow} \cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，
從而得到，\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故選\(D\)。
- 4、該題目到底是數學題目還是物理題目？
當你將本題目的物理知識背景都去掉，抽象為“已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，試用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值”，那么此時的題目就是純粹的數學題目，當添加上物理知識背景后，既可以看成物理題，也可以看成數學題，由此我們還能感悟得到，數學這門學科應該是物理、化學、生物等學科的工具學科，當其他具體學科中的問題轉化建立了數學模型后，剩下的求解就是純粹的數學知識了。
我們的問題：不清楚化簡的方向，不清楚化簡的方法。
- 相關鏈接：常用數學化簡
分析：考查一組數據的數字特征的含義的理解；
解析：選\(A\)，將一組數據排序后，去掉兩端的極端值，不會影響最中間的中位數[奇數個數據時為最中間的一個，偶數個數據時為最中間的兩個數據的平均數]，但一定會影響平均數[數據的平均水平]，方差[數據偏離平均水平的程度]，和極差[數據的活動范圍]，故選\(A\)。
相關鏈接：1、用樣本估計總體 ；
解析：法1，賦值法，令\(a=-1\)，\(b=-2\)，
對於\(A\)選項，\(ln(a-b)=ln(-1+2)=ln1=0\)，故\(A\)錯誤；
對於\(B\)選項，\(3^a=3^{-1}\)，\(3^b=3^{-2}\)，則\(3^a>3^b\)，故\(B\)錯誤；
對於\(D\)選項，\(|a|=1\)，\(|b|=2\)，則\(|a|<|b|\)，故\(D\)錯誤；故選\(C\)；
法2，函數性質法；
比如，由題設得到，\(a-b>0\)，那么由函數\(y=lnx\)，當\(x>0\)時，並不能得到\(lnx>0\)；
由函數\(y=3^x\)單調遞增可知，應該得到\(3^a>3^b\)；
由函數\(y=x^3\)單調遞增可知，應該得到\(a^3>b^3\)，即\(a^3-b^3>0\)；
由函數\(y=|x|\)的單調性可知，\(a>b\not\Leftrightarrow |a|>|b|\)；
解后反思：1、為什么這樣賦值？是基於我們對這幾個特殊函數的性質的理解；法2就能解釋回答這個問題。
2、高考的考綱本來就要求我們對基本初等函數的性質要爛熟於心，比如冪函數\(y=x^{-1}=\cfrac{1}{x}\)，\(y=x^2\)，\(y=x^3\)等；指數函數\(y=2^x\)，\(y=3^x\)等；對數函數\(y=lnx\)，\(y=lgx\)等；比較特殊的函數比如\(y=|x|\)，\(y=[x]\)，\(y=x+\cfrac{1}{x}\)，\(y=x-\cfrac{1}{x}\)等等；
3、如果再進一步要求函數，那么在函數與導數的考查中，可能多次考查到函數\(y=x\cdot e^x\)，\(y=\cfrac{e^x}{x}\)，\(y=x\cdot lnx\)，\(y=\cfrac{lnx}{x}\)等；
相關鏈接：1、大小比較；2、常用模板函數；3、圖像變換中的模板函數；
分析：考查面面平行的判定定理。
解析：在高考考場中，建議大家在考前\(5\)分鍾，在演草紙上畫一個長方體或者正方體的圖形，比如研究線線、線面、面面位置關系時，再比如依托它觀察總結三視圖對應的直觀圖時，再比如補體時都能用得上的。
我們借助圖\(1\)來研究，設\(\alpha\)對應平面\(ABCD\)，\(\beta\)對應平面\(CC'D'D\)，則平面\(ABCD\)內的無數條和\(CD\)平行的直線必然會和平面\(CC'D'D\)平行，但是並不能推出\(\alpha//\beta\)，故\(A\)錯誤；
雖然平面\(ABCD\)和平面\(CC'D'D\)都平行於同一條直線\(A'B'\)，但是並不能推出\(\alpha//\beta\)，故\(C\)錯誤；
雖然平面\(ABCD\)和平面\(CC'D'D\)都垂直於同一個平面\(ADD'A'\)，但是並不能推出\(\alpha//\beta\)，故\(D\)錯誤；
綜上所述，故選\(B\).
分析：考查圓錐曲線的基礎知識。
解析：由題設拋物線的焦點為\((\cfrac{p}{2}，0)\)，對橢圓而言焦點為\((\pm c，0)\)，故只能是\(c=\cfrac{p}{2}\)，
又由於橢圓的\(a^2=3p\)，\(b^2=p\)，則\(c^2=2p\)，則\(c^2=\cfrac{p^2}{4}\)，即\(2p=\cfrac{p^2}{4}\)，解得\(p=8\)或\(p=0\)(舍去)，故選\(D\).
分析：考查三角函數的周期性和單調性；函數圖像的變換；絕對值對周期的影響；
解析：法1，排除法，由於函數\(f(x)=sin|x|\)，不是周期函數，故排除\(D\)；又函數\(f(x)=cos|x|\)的\(T=2\pi\)，故排除\(C\)；
又函數\(f(x)=|sin2x|\)在\(x=\cfrac{\pi}{4}\)處取得最大值，故不可能在區間\((\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2})\)單調遞增，故排除\(B\)；
綜上所述，選\(A\).
法2：圖像法，做出各個函數的圖像，讀圖即可選\(A\).
相關鏈接：1、三角函數的周期的求法；2、圖像變換 ；3、變換作圖中的常用模板函數；
分析：考查三角函數的給值求值；
解析：由題設可知，\(4sin\alpha cos\alpha=2cos^2\alpha\)，由於\(cos\alpha\neq 0\)，約分得到，\(2sin\alpha=cos\alpha\)，
令\(sin\alpha=k(k>0)\)，則\(cos\alpha=2k\)，由\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)，得到\(k^2+(2k)^2=1\)，
解得\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，即\(sin\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，故選\(B\).
相關鏈接：1、常見數學條件的給出方式；2、例說學習方法的改造和提升；3、三角函數求值的三個類型；
4、三角函數的給角求值；5、三角函數的知識點；6、借助比例因子簡化運算；
分析：主要考慮如何得到\(a\)與\(b\)、\(c\)之間的關系；
解析：如圖所示，
法1：由\(\left\{\begin{array}{l}{(x-\cfrac{c}{2})^2+y^2=\cfrac{c^2}{4}}\\{x^2+y^2=a^2}\end{array}\right.\)，消\(y\)，解得\(x=\cfrac{a^2}{c}\)，
代入\(y^2=a^2-x^2=a^2-\cfrac{a^4}{c^2}=\cfrac{a^2(c^2-a^2)}{c^2}\)，
又由\(|PQ|=|OF|\)，即\(2|y|=c\)，則\(4y^2=c^2\)，
整理得到\(4a^2(c^2-a^2)=c^4\)，即\(c^4-4a^2c^2+4a^2=0\)，則\((c^2-2a^2)=0\)，
即\(c^2=2a^2\)，則\(e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=2\)，故\(e=\sqrt{2}\)，選\(A\)；
法2：由於\(|PQ|=|OF|\)，則可知\(B\)為圓心，故點\(B\)的橫坐標\(x=\cfrac{c}{2}\)，
由\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{c}{2}}\\{x^2+y^2=a^2}\end{array}\right.\)，解得\(y=\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}\)，
則可知\(|PQ|=2\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}\)，又\(|PQ|=|OF|=c\)，
故\(2\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}=c\)，化簡整理得到\(c^2=2a^2\)，解得\(e=\sqrt{2}\)，選\(A\)；
解后反思：1、顯然法2比法1的運算要簡單，原因是兩個二次方程組成的方程組的求解難度必然要比一個一次和一個二次方程組的求解難度要大；
2、在圓內和直徑相等的弦必為圓的直徑，兩條直徑的交點必為圓心。強化初中的平面幾何知識，是很有必要的。
- 相關鏈接：平面幾何定理復習
3、注意方程\(c^4-4a^2c^2+4a^4=0\)的解法，或轉化為\((c^2-2a^2)^2=0\)，或轉化為\(\cfrac{c^4}{a^4}-4\cfrac{c^2}{a^2}+4=0\)，即\(e^4-4e^2+4=0\)；
分析：要想弄清楚這類題目的求解，最好先理解題目中給定的條件的目的，
給定條件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是為了讓你用來求解其他區間上的解析式，以便於求解或作圖；
給定條件“\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我們作圖或者求其他區間上的解析式的基礎；因此我們需要先求得函數的解析式；
給定條件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)”，是讓我們做出函數\(y=f(x)\)的圖像和\(y=-\cfrac{8}{9}\)的圖像，從圖像上判斷，在函數\(y=f(x)\)的哪一段上滿足\(f(x)\)的圖像一直在直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)的上方。
解析：令\(x+1=t\)，則\(x=t-1\)，即給定條件\(f(x+1)=2f(x)\)變形為\(f(t)=2f(t-1)\)，
即\(f(x)=2f(x-1)\star\)，這是我們下來變換要使用的重要的表達式；
由於\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)①，
則當\(x\in (1，2]\)時，\(x-1\in (0，1]\)，則由\(\star\)和①式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\)②；
當\(x\in (2，3]\)時，\(x-1\in (1，2]\)，則由\(\star\)和②式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)\)③；
以下區間的解析式求解用不上，不過我們還是看看，
當\(x\in (3，4]\)時，\(x-1\in (2，3]\)，則由\(\star\)和③式得到，此時\(f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)\)④；
同理，我們還可以求得\(x\in (-1，0]\)時的解析式；
則當\(x\in (-1，0]\)時，\(x+1\in (0，1]\)，則由\(f(x+1)=2f(x)\)得到，即\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)\)⑤；
在坐標系中做出分段函數在區間\((-1，3]\)上的圖像以及直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)，
由圖像可知，我們求解方程\(4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}\)，解得\(x=\cfrac{7}{3}\)或\(x=\cfrac{8}{3}\)(結合圖像舍去)
即\(m=\cfrac{7}{3}\)，故選\(B\)。
解后反思：1、本題目涉及到的知識點比較多：分段函數，求解析式，換元法，二次函數，數形結合等等；
2、對表達式\(f(x)=2f(x-1)\)的理解，它是兩種變換，比如平移變換\(f(x)=f(x-1)\)和振幅變換\(f(x)=2f(A)\)的融合，理解了本題目后，以后碰到類似題目，我們就可知這樣理解，\(f(x-1)\)的意思是將基礎圖像\(y=x(x-1)\)向右平移一個單位，再乘以\(2\)，意思是在原來平移的圖像的基礎上在\(y\)軸方向擴大\(2\)倍，這樣做圖像就快多了。
3、我們還可以不詳細求解各區間段上的解析式，而利用圖像直接寫出解析式。比如向右平移一次后我們知道，函數圖像經過點\((1，0)\)和\((2，0)\)，則解析式為\(y=a(x-1)(x-2)\)，且知道最低點為\((\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})\)，可知\(a=2\)，即\(x\in (1，2]\)時，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；
4、能不能不做變換，直接利用\(f(x+1)=2f(x)\)來求解析式呢？也可以，不過你必須始終緊緊盯住自變量\(x\)的取值不放，
比如\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)，由\(f(x+1)=2f(x)\)，先求得\(f(x+1)=2x(x-1)\)，注意到\(x+1\in (1，2]\)，要求解\(x\in (1，2]\)上的解析式，還得換元，令\(x+1=t\in (1，2]\)，則\(x=t-1\)，代入\(f(x+1)=2x(x-1)\)，變形得到\(f(t)=2(t-1)(t-2)\)，\(t\in (1，2]\)，即\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)，\(x\in (1，2]\).
5、注意函數的解析式的寫法和理解。
形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)
形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)
- 相關鏈接：幾類特殊分段函數圖像的畫法
二、填空題
分析：由題目可知，經停該站高鐵列車所有車次為\(40\)個車次，那么利用加權平均數的計算公式就可以求解平均值。
解析：\(\bar{x}=\cfrac{10}{40}\times 0.97+\cfrac{20}{40}\times 0.98+\cfrac{10}{40}\times 0.99=0.98\).
解后反思：聽學生反饋，說是題目理解有誤，他弄不清楚正點率為\(0.98\)的\(20\)個車次里面，到底是不是包含了開始說的那\(10\)個車次，很明顯是不包含的，故正確、准確理解題意很關鍵。
分析：利用函數的奇偶性求參數的值。
解析：由\(f(ln2)=8\)以及奇函數可知，\(f(-ln2)=-8\)，
則\(f(-ln2)=-e^{a(-ln2)}=-e^{-aln2}=-8\)，即\((e^{ln2})^{-a}=8\)，則\(2^{-a}=8=2^3\)，故\(-a=3\)，則\(a=-3\)。
解后反思：深刻理解指數、對數的運算性質和法則。
- 相關鏈接：指數對數的運算
分析：利用正余弦定理解三角形。
解析：自行做出相應圖形，針對\(b\)邊使用余弦定理，得到
\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，即\(36=c^2+4c^2-2\cdot c\cdot 2c\cdot cos\cfrac{\pi}{3}\)
解得，\(c=2\sqrt{3}\)，則\(a=4\sqrt{3}\)，
則\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}accosB=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\)。
- 相關鏈接：正余弦定理解三角形
分析：半正多面體的制作過程，如下圖所示；
解析：如果我們將其看成是三層的，則每一層都有\(8\)個面，再外加上下兩個面，故共有\(3\times 8+2=26\)個面。
如圖所示，設棱長為\(x\)，即\(MN=NE=x\)，由\(\triangle EHN\)為等腰直角三角形，
由\(NE=x\)，則可知\(NH=\cfrac{\sqrt{2}}{2}x\)，又\(MN+2NH=1\)，
則\(x+2\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}x=1\)，即\((\sqrt{2}+1)x=1\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\).
綜上可知，此半正多面體共有\(26\)個面，棱長為\(\sqrt{2}-1\)。
【解后反思】
1、求其表面積；
2、求其體積；
3、求其內切球的半徑；
分析：由這個動畫可以看出，該半正多面體沒有內切球。
4、求其外接球的半徑；
外接球的半徑可以借助下圖來求解。
