最小割樹(Gomory-Hu Tree)
前置知識
Gomory-Hu Tree是用來解決無向圖最小割的問題的，所以我們需要了解無向圖最小割的定義
和有向圖類似，無向圖上兩點(x,y)的割定義為一個邊集E，滿足去掉該邊集后x,y不聯通。最小割即為所有的割中權值之和最小的割
通過這條割我們把點集划為兩個部分，x所在的一個記為\(V_x\),y所在的一個記為\(V_y\)
定義
首先我們知道，一個n個點的無向圖上，兩點之間本質不同的最小割只有n-1種，因此一定存在一棵樹，滿足樹上兩點的最小割等於原圖上兩點的最小割。
最小割樹的定義如下：
定義一棵樹T為最小割樹，如果對於樹上的所有邊(s,t)，樹上去掉(s,t)后產生的兩個集合恰好是原圖上(s,t)的最小割把原圖分成的兩個集合，且邊(u,v)的權值等於原圖上(u,v)的最小割
很多博客里把Gomory-Hu樹定義為樹上邊(u,v)的權值=圖上(u,v)的最小割，而忽視了刪掉邊(u,v)后點集的關系，是錯誤的。那是等價流樹(Equivalent Flow Tree)的定義。如果最小割樹不是像上面一樣定義的，那么下面的最小割樹的性質定理就無法證明
原圖上u,v兩點最小割就是最小割樹上u到v的路徑上權值最小的邊
最小割樹的構造
根據定義：樹上去掉(s,t)后產生的兩個集合恰好是原圖上(s,t)的最小割把原圖分成的兩個集合。
我們可以直接按定義構造最小割樹
最小割樹的構造是遞歸實現的。
在當前點集隨意選取兩個點u,v，在原圖上跑出他們之間的最小割，然后就在樹上連一條從u到v,權值為\(\lambda(u,v)\)的邊。
然后找出u,v分屬的兩個點集，對這兩個點集遞歸進行操作。當點集中的點只剩一個的時候停止遞歸
時間復雜度\(O(n^3m)\)，但很難卡滿（實際上就是跑了n次dinic)
int node[maxv];//node[i]里面存儲點的編號
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];//任選兩個點
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
//考慮dinic算法中的最后一次bfs,因為現在殘量網絡上s到達不了t,所以bfs訪問到的點就是s所在的點集，它們的deep不0
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
最小割樹的查詢
最小割樹滿足一個重要的性質：
原圖上u,v兩點最小割就是最小割樹上u到v的路徑上權值最小的邊
因此我們直接對建出的最小割樹進行樹上倍增即可
該性質的正確性證明見下方
正確性證明
為了下文描述方便，我們定義\(\lambda (a,b)\)表示a,b的最小割的權值
引理1 對於任意\(p \in V_x,q \in V_y\)，有$\lambda(x,y) \geq \lambda(p,q) $
證明：
假設$\lambda(x,y) < \lambda(p,q) $,那么用割斷(x,y)的代價割不斷(p,q),而p與x聯通，p與y聯通，那么(x,y)就割不斷了，這與最小割的定義矛盾，因此引理成立。
定理1 :對於任意不同的三點\(a,b,c\), \(\lambda(a,b) \geq min(\lambda(a,c),\lambda(c,b))\)
證明：考慮\(\lambda(a,b) \ , \lambda(a,c)\ ,\lambda(c,b)\)中最小的一對，不妨設為\(\lambda(a,b)\)
再討論c在刪掉(a,b)的割邊之后與a聯通還是與b聯通，不妨設為與b，另一種同理。由引理1：\(\lambda(a,c) \leq \lambda(a,b)\)
又因為我們之前假設過\(\lambda(a,b)\)是最小的，因此\(\lambda(a,c) \geq \lambda(a,b)\),所以\(\lambda(a,c)=\lambda(a,b)\)
因此\(\lambda(a,b) \ , \lambda(a,c)\ ,\lambda(c,b)\)中一定有兩個較小值，一個較大值。
若\(\lambda(a,b)\)是小的，則\(\lambda(a,c),\lambda(c,b)\)中一個較大的,一個較小的，取min之后還是較小值，定理顯然成立
若\(\lambda(a,b)\)是大的，則\(\lambda(a,c),\lambda(c,b)\)均是較小值，定理顯然成立
定理1的推論 對於任意不同的兩點u,v, \(\lambda(u,v) \geq min(\lambda(u,w_1),\lambda(w_1,w_2),\lambda(w_2,w_3) \dots , \lambda(w_k,v))\)
定理2 對於任意不同的兩點x,y,令p,q為最小割樹x到y路徑上的兩點，且\(\lambda(p,q)\)最小，那么\(\lambda(p,q)=\lambda(x,y)\).也就是說，u,v兩點最小割就是最小割樹上u到v的路徑上權值最小的邊
由定理1的推論可知\(\lambda(x,y) \geq \lambda(p,q)\)
又根據最小割樹的定義，x,y在p,q最小割的兩側，則\(\lambda(p,q) \geq \lambda(x,y)\)
因此\(\lambda(x,y)=\lambda(p,q)\)
題目
首先是模板
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4897
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 505
#define maxe 1505
#define maxlogv 10
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int flow;
}E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t){
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow){
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf){
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow){
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init(){
for(int i=2;i<=sz;i+=2){
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t){
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)){
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int len;
}E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa){
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1;i<=log2n;i++){
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa){
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work(){
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
build(1,n);
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y){
int ans=INF;
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
int main(){
int u,v,w;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
scanf("%d %d",&u,&v);
int ans=mincut_tree::query(u,v);
if(ans==INF) ans=-1;
printf("%d\n",ans);
}
}
以及兩道例題
[CQOI2016]不同的最小割
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4123
先建出最小割樹，然后枚舉所有點對，將求出的最小割值存入一個STL set
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 855
#define maxe 8505
#define maxlogv 15
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int flow;
}E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t){
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow){
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf){
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow){
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init(){
for(int i=2;i<=sz;i+=2){
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t){
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)){
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int len;
}E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa){
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1;i<=log2n;i++){
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa){
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work(){
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
build(1,n);
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y){
int ans=INF;
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
set<int>S;
int main(){
int u,v,w;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
S.insert(mincut_tree::query(i,j));
}
}
printf("%d\n",S.size());
}
[ZJOI2011]最小割
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4123
先建出最小割樹，然后枚舉所有點對，將求出的最小割值排序，然后二分查找就可以了
//BZOJ 2229
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 155
#define maxe 3005
#define maxlogv 10
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow {
struct edge {
int from;
int to;
int next;
int flow;
} E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w) {
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t) {
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow) {
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf) {
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow) {
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init() {
for(int i=2; i<=sz; i+=2) {
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t) {
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)) {
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree {
struct edge {
int from;
int to;
int next;
int len;
} E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w) {
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r) {
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l; i<=r; i++) {
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l; i<=l+cnt1-1; i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1; i<=r; i++) node[i]=tmp2[i-l-cnt1+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa) {
// printf("dfs on %d\n",x);
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1; i<=log2n; i++) {
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa) {
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work() {
sz=1;
memset(E,0,sizeof(E));
memset(head,0,sizeof(head));
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1; i<=n; i++) node[i]=i;
memset(deep,0,sizeof(deep));
memset(anc,0,sizeof(anc));
memset(minl,0,sizeof(minl));
build(1,n);
// printf("buildok");
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y) {
int ans=INF;
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
for(int i=log2n; i>=0; i--) {
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]) {
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n; i>=0; i--) {
if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
int cases;
int pc;
int ans[maxv*maxv/2];
int main() {
#ifdef FILE_IO
freopen("1.in","r",stdin);
#endif
int u,v,w;
scanf("%d",&cases);
while(cases--) {
memset(network_flow::head,0,sizeof(network_flow::head));
memset(network_flow::E,0,sizeof(network_flow::E));
network_flow::sz=1;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
pc=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
ans[++pc]=mincut_tree::query(i,j);
}
}
sort(ans+1,ans+1+pc);
scanf("%d",&q);
for(int i=1; i<=q; i++) {
scanf("%d",&w);
printf("%d\n",upper_bound(ans+1,ans+1+pc,w)-ans-1);
}
printf("\n");
}
}