最小割樹(\(\mathcal{Gomory-Hu Tree}\))簡明指南
對於單源最短路徑，我們有\(SPFA\)和\(Dijkstra\)，對於多源最短路徑，我們有\(Floyd\)；對於兩點間的最小割，我們有\(Dinic\)和\(ISAP\)，那么對於多組最小割的詢問呢？
這是板子題：
P4897 【模板】最小割樹（Gomory-Hu Tree）
這是教程：
首先有一個定理，就是一個\(n\)個點的圖上，兩點之間只有\(n\)種本質不同的最小割。因此一定存在一棵樹，滿足樹上兩點的最小割等於原圖上兩點的最小割。我們把這樣的樹稱之為“最小割樹”。 --Ebola
下面考慮如何建出這樣的一棵樹。
首先我們在圖中隨意選取兩個點\(u,v\)，跑出他們之間的最小割\(cut(u,v)\)。那么滿流的邊就是圖中\(u,v\)之間的割。通過這條割我們把圖划分成\(u\)所在的部分和\(v\)所在的部分。把\(u\)所在的那一部分的點集記作\(U\)，\(v\)所在的那一部分的點集記作\(V\)。
- 引理：對於任意\(x \in U,y \in V\)，有\(cut(x,y) \leq cut(u,v)\)。
- 證明：假設有\(cut(x,y) > cut(u,v)\)，那么\(cut(u,v)\)就不能把\(u,v\)割開，因為\(x,y\)依然相連。
那么我們在一張你沒有玩過的船新圖上在\(u,v\)之間建一條值為\(cut(u,v)\)的邊。接下來，我們再分別對\(U,V\)集合進行上述的相同操作，也就是在每一集合中找兩個點求最小割，再把集合割開成兩個...這樣，當我們把原圖的點的大集合全部割成一個個點集之后，剛好跑了\(n\)次網絡流，建了\(n-1\)條邊，也就建成了一棵\(Gomory\)-\(Hu \ Tree\)。
- 引理：對於樹上的兩點\(u,v\)，他們的最小割是他們之間簡單路徑的最小路徑權值。
- 根據上一條引理，顯然可得。
那么我們只需要在樹上進行查詢們就可以得到任意兩點的最小割。可以用倍增，也可以用樹鏈剖分。
這是板子：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,node[505],dep[505],fa[505][10],mn[505][10];
int cnt,top[505],to[1005],len[1005],nex[1005];
int read()
{
int re=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return re;
}
void add_edge(int x,int y,int z)
{
to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
to[++cnt]=x,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
}
namespace GHT
{
int s,t;
int tot,cur[505],dep[505],col[505],col_bucket[505];
int cnt=1,top[505],to[3005],cap[3005],flow[3005],nex[3005];
void add_edge(int x,int y,int z)
{
to[++cnt]=y,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
to[++cnt]=x,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
}
bool BFS()
{
memset(cur,0,sizeof cur);
memset(dep,0,sizeof dep);
dep[s]=1,cur[s]=top[s];
queue<int>Q;
Q.push(s);
while(!Q.empty())
{
int now=Q.front();Q.pop();
for(int i=top[now];i;i=nex[i])
if(!dep[to[i]]&&cap[i]>flow[i])
{
dep[to[i]]=dep[now]+1;
cur[to[i]]=top[to[i]];
Q.push(to[i]);
}
}
return dep[t]!=0;
}
int DFS(int now,int rest)
{
if(now==t) return rest;
int re=0;
for(int &i=cur[now];i;i=nex[i])
if(dep[to[i]]==dep[now]+1&&cap[i]>flow[i])
{
int lzq=DFS(to[i],min(rest,cap[i]-flow[i]));
if(lzq)
{
rest-=lzq,re+=lzq;
flow[i]+=lzq,flow[i^1]-=lzq;
if(!rest) break;
}
}
return re;
}
int Dinic(int x,int y)
{
int re=0;s=x,t=y;
for(int i=1;i<=cnt;i++) flow[i]=0;
while(BFS()) re+=DFS(s,0x3f3f3f3f);
return re;
}
void get_color(int now,int color)
{
col[now]=color;
for(int i=top[now];i;i=nex[i])
if(cap[i]>flow[i]&&col[to[i]]!=color)
get_color(to[i],color);
}
void build(int l,int r)
{
if(l==r) return ;
int x=node[l],y=node[l+1];
int cut=Dinic(x,y);
get_color(x,++tot);
int L=l,R=r;
for(int i=l;i<=r;i++)
if(col[node[i]]==tot) col_bucket[L++]=node[i];
else col_bucket[R--]=node[i];
for(int i=l;i<=r;i++) node[i]=col_bucket[i];
::add_edge(x,y,cut);
build(l,L-1);
build(R+1,r);
}
}
void dfs(int now)
{
for(int i=1;i<=9;i++)
{
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
mn[now][i]=min(mn[now][i-1],mn[fa[now][i-1]][i-1]);
}
for(int i=top[now];i;i=nex[i])
{
if(to[i]==fa[now][0]) continue;
dep[to[i]]=dep[now]+1,fa[to[i]][0]=now,mn[to[i]][0]=len[i];
dfs(to[i]);
}
}
int getcut(int x,int y)
{
int re=INT_MAX;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=9;i>=0;i--) if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) re=min(re,mn[x][i]),x=fa[x][i];
if(x==y) return re;
for(int i=9;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) re=min(re,min(mn[x][i],mn[y][i])),x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return min(re,min(mn[x][0],mn[y][0]));
}
int main()
{
n=read(),m=read();
while(m--)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
GHT::add_edge(x,y,z);
}
for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
GHT::build(1,n);
dep[1]=1;
dfs(1);
m=read();
while(m--)
{
int x=read(),y=read();
printf("%d\n",getcut(x,y));
}
return 0;
}