圖論學習五之minimal spanning tree最小生成樹

　　　　　　生成樹的概念

 生成樹
　　 一個連通圖的生成樹是一個極小連通子圖，它含有圖中全
   　　 部頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。
　　 生成樹不唯一

　　　　　　最小生成樹

生成樹的代價等於其邊上的權值之和。

　　　　　　 兩種常用的構造最小生成樹的方法：

 Prim 算法
 Kruskal 算法（重要）

 

　　　　　　Prim算法

假設N=(V， E)是連通網， TE是N上最小生成樹中邊的集合。
算法從U={u0}(u0∈V)， TE={}開始，重復執行下述操作：
　　　在所有u∈U， v∈V-U的邊(u， v)中找一條代價最小的邊(u0 ,v0),將
　　      其並入集合TE，同時將v0並入U集合。
　　   當U=V則結束，此時TE中必有n-1條邊，則T=(V， {TE})為N的最小生
　　      成樹。
prim算法構造最小生成樹的過程是從一個頂點U={u0}作初態，
不斷尋找與U中頂點相鄰且代價最小的邊的另一個頂點，擴
充到U集合直至U=V為止。

 prim算法求最小生成樹：從生
成樹中只有一個頂點開始，到
頂點全部進入生成樹為止

 

　　　　　　Kruskal算法

假設連通網N=(V， E)，則令最小生成樹的初始狀態
  為只有n個頂點而無邊的非連通圖T=(V， {})，圖中
  每個頂點自成一個連通分量。

在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T
  中不同的連通分量上，則將此邊加入到T中，否則
  舍去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，
  直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。

 

克魯斯卡爾算法求最小生成樹

 

 

 

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