正文
所謂最小生成樹，就是在一個具有N個頂點的帶權連通圖G中，如果存在某個子圖G'，其包含了圖G中的所有頂點和一部分邊，且不形成回路，並且子圖G'的各邊權值之和最小，則稱G'為圖G的最小生成樹。
由定義我們可得知最小生成樹的三個性質：
• 最小生成樹不能有回路。
• 最小生成樹可能是一個，也可能是多個。
• 最小生成樹邊的個數等於頂點的個數減一。
本文將介紹兩種最小生成樹的算法，分別為克魯斯卡爾算法(Kruskal Algorithm)和普利姆算法(Prim Algorithm)。
一、克魯斯卡爾算法(Kruskal Algorithm)
克魯斯卡爾算法的核心思想是：在帶權連通圖中，不斷地在邊集合中找到最小的邊，如果該邊滿足得到最小生成樹的條件，就將其構造，直到最后得到一顆最小生成樹。
克魯斯卡爾算法的執行步驟：
第一步：在帶權連通圖中，將邊的權值排序；
第二步：判斷是否需要選擇這條邊（此時圖中的邊已按權值從小到大排好序）。判斷的依據是邊的兩個頂點是否已連通，如果連通則繼續下一條；如果不連通，那么就選擇使其連通。
第三步：循環第二步，直到圖中所有的頂點都在同一個連通分量中，即得到最小生成樹。
下面我用圖示法來演示克魯斯卡爾算法的工作流程，如下圖：
首先，將圖中所有的邊排序（從小到大），我們將以此結果來選擇。排序后各邊按權值從小到大依次是：
HG < (CI=GF) < (AB=CF) < GI < (CD=HI) < (AH=BC) < DE < BH < DF
接下來，我們先選擇HG邊，將這兩個點加入到已找到點的集合。這樣圖就變成了，如圖
繼續，這次選擇邊CI（當有兩條邊權值相等時，可隨意選一條），此時需做判斷。
判斷法則：當將邊CI加入到已找到邊的集合中時，是否會形成回路？
1.如果沒有形成回路，那么直接將其連通。此時，對於邊的集合又要做一次判斷：這兩個點是否在已找到點的集合中出現過？
①.如果兩個點都沒有出現過，那么將這兩個點都加入已找到點的集合中；
②.如果其中一個點在集合中出現過，那么將另一個沒有出現過的點加入到集合中；
③.如果這兩個點都出現過，則不用加入到集合中。
2.如果形成回路，不符合要求，直接進行下一次操作。
根據判斷法則，不會形成回路，將點C和點I連通，並將點C和點I加入到集合中。如圖：
繼續，這次選擇邊GF，根據判斷法則，不會形成回路，將點G和點F連通，並將點F加入到集合中。如圖：
繼續，這次選擇邊AB，根據判斷法則，不會形成回路，將其連通，並將點A和點B加入到集合中。如圖：
繼續，這次選擇邊CF，根據判斷法則，不會形成回路，將其連通，此時這兩個點已經在集合中了，所以不用加入。如圖：
繼續，這次選擇邊GI，根據判斷法則，會形成回路，如下圖，直接進行下一次操作：
繼續，這次選擇邊CD，根據判斷法則，不會形成回路，將其連通，並將點D加入到集合中。如圖：
繼續，這次選擇邊HI，根據判斷法則，會形成回路，直接進行下一次操作。
繼續，這次選擇邊AH，根據判斷法則，不會形成回路，將其連通，此時這兩個點已經在集合中了，所以不用加入。
繼續，這次選擇邊BC，根據判斷法則，會形成回路，直接進行下一次操作。
繼續，這次選擇邊DE，根據判斷法則，不會形成回路，將其連通，並將點E加入到集合中。如圖：
繼續，這次選擇邊BH，根據法則，會形成回路，進行下一次操作。
最后選擇邊DF，根據法則，會形成回路，不將其連通，也不用加入到集合中。
好了，所有的邊都遍歷完成了，所有的頂點都在同一個連通分量中，我們得到了這顆最小生成樹。
通過生成的過程可以看出，能否得到最小生成樹的核心問題就是上面所描述的判斷法則。
那么，我們如何用算法來描述判斷法則呢？我認為只需要三個步驟即可：
⒈將某次操作選擇的邊XY的兩個頂點X和Y和已找到點的集合作比較，如果
①這兩個點都在已找到點的集合中，那么return 2；
②這兩個點有一個在已找到點的集合中，那么return 1；
③這兩個點都不在一找到點的集合中，那么return 0；
⒉當返回值為0或1時，可判定不會形成回路；
⒊當返回值為2時，判定能形成回路的依據是：假如能形成回路，設能形成回路的點的集合中有A,B,C,D四個點，那么以點A為起始點，繞環路一周后必能回到點A。如果能回到，則形成回路；如果不能，則不能形成回路。
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int size = 128; int n; int father[size]; int rank[size]; //把每條邊成為一個結構體，包括起點、終點和權值 typedef struct node { int val; int start; int end; }edge[SIZE * SIZE / 2]; //把每個元素初始化為一個集合 void make_set() { for(int i = 0; i < n; i ++){ father[i] = i; rank[i] = 1; } return ; } //查找一個元素所在的集合,即找到祖先 int find_set(int x) { if(x != father[x]){ father[x] = find_set(father[x]); } return father[x]; } //合並x,y所在的兩個集合：利用Find_Set找到其中兩個 //集合的祖先，將一個集合的祖先指向另一個集合的祖先。 void Union(int x, int y) { x = find_set(x); y = find_set(y); if(x == y){ return ; } if(rank[x] < rank[y]){ father[x] = find_set(y); } else{ if(rank[x] == rank[y]){ rank[x] ++; } father[y] = find_set(x); } return ; } bool cmp(pnode a, pnode b) { return a.val < b.val; } int kruskal(int n) //n為邊的數量 { int sum = 0; make_set(); for(int i = 0; i < n; i ++){ //從權最小的邊開始加進圖中 if(find_set(edge[i].start) != find_set(edge[i].end)){ Union(edge[i].start, edge[i].end); sum += edge[i].val; } } return sum; } int main() { while(1){ scanf("%d", &n); if(n == 0){ break; } char x, y; int m, weight; int cnt = 0; for(int i = 0; i < n - 1; i ++){ cin >> x >> m; //scanf("%c %d", &x, &m); //printf("%c %d ", x, m); for(int j = 0; j < m; j ++){ cin >> y >> weight; //scanf("%c %d", &y, &weight); //printf("%c %d ", y, weight); edge[cnt].start = x - 'A'; edge[cnt].end = y - 'A'; edge[cnt].val = weight; cnt ++; } } sort(edge, edge + cnt, cmp); //對邊按權從小到大排序 cout << kruskal(cnt) << endl; } }
二、普利姆算法(Prim Algorithm)
普利姆算法的核心步驟是：在帶權連通圖中，從圖中某一頂點v開始，此時集合U={v}，重復執行下述操作：在所有u∈U,w∈V-U的邊(u,w)∈E中找到一條權值最小的邊，將(u,w)這條邊加入到已找到邊的集合，並且將點w加入到集合U中，當U=V時，就找到了這顆最小生成樹。
其實，由步驟我們就可以定義查找法則：在所有u∈U,w∈V-U的邊(u,w)∈E中找到一條權值最小的邊。
ok，知道了普利姆算法的核心步驟，下面我就用圖示法來演示一下工作流程，如圖：
首先，確定起始頂點。我以頂點A作為起始點。根據查找法則，與點A相鄰的點有點B和點H，比較AB與AH，我們選擇點B，如下圖。並將點B加入到U中。
繼續下一步，此時集合U中有{A,B}兩個點，再分別以這兩點為起始點，根據查找法則，找到邊BC（當有多條邊權值相等時，可選任意一條），如下圖。並將點C加入到U中。
繼續，此時集合U中有{A,B,C}三個點，根據查找法則，我們找到了符合要求的邊CI，如下圖。並將點I加入到U中。
繼續，此時集合U中有{A,B,C,I}四個點，根絕查找法則，找到符合要求的邊CF，如下圖。並將點F加入到集合U中。
繼續，依照查找法則我們找到邊FG,如下圖。並將點G加入到U中。
繼續，依照查找法則我們找到邊GH,如下圖。並將點H加入到U中。
繼續，依照查找法則我們找到邊CD,如下圖。並將點D加入到U中。
繼續，依照查找法則我們找到邊DE,如下圖。並將點E加入到U中。
此時，滿足U = V，即找到了這顆最小生成樹。
附注：prim算法最小生成樹的生成過程中，也有可能構成回路，需做判斷。判斷的方法和克魯斯卡爾算法一樣。
int prime(int cur) { int index; int sum = 0; memset(visit, false, sizeof(visit)); visit[cur] = true; for(int i = 0; i < m; i ++){ dist[i] = graph[cur][i]; } for(int i = 1; i < m; i ++){ int mincost = INF; for(int j = 0; j < m; j ++){ if(!visit[j] && dist[j] < mincost){ mincost = dist[j]; index = j; } } visit[index] = true; sum += mincost; for(int j = 0; j < m; j ++){ if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){ dist[j] = graph[index][j]; } } } return sum; }
轉載：http://blog.csdn.net/fengchaokobe/article/details/7521780
http://www.cnblogs.com/aiyelinglong/archive/2012/03/26/2418707.html