【BZOJ-2229】最小割最小割樹（最大流+分治）

小白在圖論課上學到了一個新的概念——最小割，下課后小白在筆記本上寫下了如下這段話： “對於一個圖，某個對圖中結點的划分將圖中所有結點分成兩個部分，如果結點s,t不在同一個部分中，則稱這個划分是關於s,t的割。對於帶權圖來說，將所有頂點處在不同部分的邊的權值相加所得到的值定義為這個割的容量，而s,t的最小割指的是在關於s,t的割中容量最小的割” 現給定一張無向圖，小白有若干個形如“圖中有多少對點它們的最小割的容量不超過x呢”的疑問，小藍雖然很想回答這些問題，但小藍最近忙着挖木塊，於是作為仍然是小藍的好友，你又有任務了。

輸入文件第一行有且只有一個正整數T，表示測試數據的組數。對於每組測試數據，第一行包含兩個整數n,m，表示圖的點數和邊數。下面m行，每行3個正整數u,v,c(1<=u,v<=n,0<=c<=106)，表示有一條權為c的無向邊(u,v) 接下來一行，包含一個整數q，表示詢問的個數下面q行，每行一個整數x，其含義同題目描述。

對於每組測試數據，輸出應包括q行，第i行表示第i個問題的答案。對於點對(p,q)和(q,p)，只統計一次（見樣例）。

兩組測試數據之間用空行隔開。

1
5 0
1
0

10

【數據范圍】
對於100%的數據 T<=10,n<=150,m<=3000,q<=30，x在32位有符號整數類型范圍內。
圖中兩個點之間可能有多條邊

Day1

Solution

最小割樹Gomory-Hu tree，共有n-1個最小割，連起來，形成樹，具體的見下

圖片及講解均轉自csdn，如有冒犯請諒解

Gomory-Hu tree是一顆代表了所有源目節點對間的最小割的樹。求解出Gomory-Hu tree就可以了解兩兩節點對之間的最大流（最大流最小割定理）。舉例：

下圖左側為一無向圖，右側為初始Gomory-Hutree（所有點在統一集合中），下面進行Gomory-Hu tree的求解。

步驟一：任意選定一個源節點和一個目的節點。在本例中不失一般性選擇節點1為源節點(s)，5為目的節點（t）。則可得最大流為6，且最小割相應的將點分為如下圖右側所示的兩個集合。

步驟二：任意選定與之前步驟不同的一個源節點和一個目的節點。在本例中不失一般性選擇節點3為源節點(s)，5為目的節點（t）。由於0124四個節點已經被視作一個集合，則可得最大流為8，且最小割相應的將點分為如下圖右側所示的三個集合。

步驟三：任意選定與之前步驟不同的一個源節點和一個目的節點。在本例中不失一般性選擇節點1為源節點(s)，2為目的節點（t）。同上可得最大流為6，且最小割相應的將點分為如下圖右側所示的四個集合。

重復以上步驟可以將原無向圖划分為一棵Gomory-Hutree，如下圖所示。

         通過此求解過程可知，代碼實現整個步驟是十分復雜的。1990年Dan Gusfield通過"Very Simple Methods for All Pairs Network Flow Analysis"一文提出了一種容易實現的Gomory-Hutree的求解方法，也是本文采用的實現方法。下面通過例子來介紹這種實現方法：

         不失一般性，舉例原圖是擁有6個節點的無向圖，節點間的權重皆為1，節點間的最小割如下圖所示：

步驟一：創建一棵星型樹，節點1為中心節點，其他節點為葉子節點，如下圖左側所示。

步驟二：分別選編號為2至6的節點為源節點（s），重復做步驟三和步驟四。

步驟三：在星型樹中令與s節點相鄰的節點為目的節點（t），計算s與t之間的最大流，並由此得到最小割。將最大流標注在星型樹中s節點與t節點間的鏈路上。

步驟四：對於每一個編號大於s的節點i，如果在原圖中s與i是鄰居，且i與s在同一割集中，則去除星型圖中i與t的連接，增加i與s的連接，如下圖中間所示。

         最后可得到如上圖右側所示的Gomory-Hutree。

同樣的，按照上述做法，就可以遞歸分治的去求，最后統計答案即可

具體的實現：

對於每層分治，先任選兩個點作為源匯做一遍最小割
然后找出S集和T集，對所有S集的點和T集的點構成的點對用本次得到的最小割更新一遍
然后將本次分治的點分成S集和T集，對兩個集合分治處理即可

值得注意的地方：

1.由於是無向圖，連邊的時候可以直接二合一，這樣方便分治的時候，還原容量

2.分治的時候，L,R控制好，注意初始化，不要遺漏

3.注意需要進行更新的是最初的$S$集和最初的$T$集，不只是本次分治內部的$S'$集和$T'$集

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define maxn 200
#define maxm 100010
int n,m,q,t,ans[maxn][maxn],id[maxn],tmp[maxn];
struct Edgenode{int next,to,cap;}edge[maxm];
int head[maxn],cnt=1;
void add(int u,int v,int w)
{cnt++; edge[cnt].to=v; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].cap=w;}
void insert(int u,int v,int w) {add(u,v,w); add(v,u,w);}
int dis[maxn],que[maxn<<1],cur[maxn],S,T;
bool bfs()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    que[0]=S; dis[S]=0; int he=0,ta=1;
    while (he<ta)
        {
            int now=que[he++];
            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==-1)
                    dis[edge[i].to]=dis[now]+1,que[ta++]=edge[i].to;
        }
    return dis[T]!=-1;
}
int dfs(int loc,int low)
{
    if (loc==T) return low;
    int w,used=0;
    for (int i=cur[loc]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==dis[loc]+1)
            {
                w=dfs(edge[i].to,min(low-used,edge[i].cap));
                edge[i].cap-=w; edge[i^1].cap+=w;
                used+=w; if (edge[i].cap) cur[loc]=i;
                if (used==low) return low;
            }
    if (!used) dis[loc]=-1;
    return used;
}
#define inf 0x7fffffff
int dinic()
{
    int tmp=0;
    while (bfs())
        {
            for (int i=1; i<=n; i++) cur[i]=head[i];
            tmp+=dfs(S,inf);
        }
    return tmp;
}
void init()
{
    cnt=1;
    memset(ans,127,sizeof(ans));
    memset(head,0,sizeof(head));
}
bool visit[maxn];
void DFS(int x)
{
    visit[x]=1;
    for (int i=head[x]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].cap && !visit[edge[i].to])
            DFS(edge[i].to);
}
void work(int L,int R)
{
    if (L==R) return;
    for (int i=2; i<=cnt; i+=2) 
        edge[i].cap=edge[i^1].cap=(edge[i].cap+edge[i^1].cap)>>1;
    S=id[L],T=id[R];
    int maxflow=dinic();
    memset(visit,0,sizeof(visit)); DFS(S);
    for (int i=1; i<=n; i++) if (visit[i])
        for (int j=1; j<=n; j++) if (!visit[j])
            ans[i][j]=ans[j][i]=min(ans[i][j],maxflow);
    int l=L,r=R;
    for (int i=L; i<=R; i++)
        if (visit[id[i]])
            tmp[l++]=id[i];
        else tmp[r--]=id[i];
    for (int i=L; i<=R; i++) id[i]=tmp[i];
    work(L,l-1); work(r+1,R);
}        
int main()
{
//    freopen("mincuto.in","r",stdin);
//    freopen("mincuto.out","w",stdout);
    t=read();
    while (t--)
        {
            init();
            n=read(),m=read();
            for (int i=1; i<=n; i++) id[i]=i;
            for (int u,v,w,i=1; i<=m; i++)
                u=read(),v=read(),w=read(),insert(u,v,w);
            work(1,n);
            q=read();
            for (int c,i=1; i<=q; i++)
                {
                    c=read(); int an=0;
                    for (int j=1; j<=n; j++)
                        for (int k=j+1; k<=n; k++)
                            if (ans[j][k]<=c) an++;
                    printf("%d\n",an); 
                }
            puts("");
        }
    return 0;
}