最大流最小割 算法理解

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理解算法。 
首先從最簡單的開始，先看一幅圖： 
 
有3個節點S,a,T，邊[S,a]的容量是10，邊[a,T]的容量是5，假設從S處要傳送數據到T，問最大傳送數據量是多少？應該是min(10,5)=5.如果超出5，[a,T]邊容不下，因此傳不過去，此時的最大流量就是5，[a,T]邊就是該圖的一條最小割。該圖可以想象成從S到T通水，需要修建水管，a是中間站點，S到a修建的水管可以容納下10單位的水量，a到T可容下5單位的水量，現在有個人不想讓S到T通水了，那么他得要切割水管，那么應該切割哪條水管呢？假設切割水管付出的代價和水管容量成正比。顯然，他需要切割a到T的水管，而不會切割S到a的水管，此時的割是最小割，容量是5，最大流是5，所以最大流=最小割。當然這個例子太簡單，不能說明普遍問題。 
來個稍微復雜的例子： 
 
從S到T，中間經過a,b兩節點，問此時的最大流是多少？ 
首先找一條從S到T的路徑[S,a,t]，該路徑的最大流量是min(2,3)=2，因為[S,a]上面的容量已經被用了，所以路徑[S,a,b,t]就行不通了，割去[S,a]后圖變成了以下形式： 
 
該圖叫做殘留網絡或者叫殘留圖，此時再找從S到t的路徑[S,b,t]，路徑的最大流量是min(3,6)=3.割去[b,t]后，圖如下： 
 
此時就不存在從S到t的可行路徑了，則結束最大流的查找。此時的最大流是2+3=5，被割的邊容量和是2+3=5，即最大流=最小割。 
兩個例子我們已經能理解最大流和最小割大體的含義了，也發現最大流的確和最小割是相等的。只從這兩個小例子就證明最大流和最小割相等是絕對不嚴格的，嚴格的數學證明可google相關資料。回頭思考下，最大流到底是什么？如果以送貨為例，在可行的情況下，從一個節點到另一個節點所能送達的最大貨量即為最大流。打個比方，假設從S處開始放彈珠，讓其自動滾到t處，箭頭方向為下坡路，在不考慮時間和空間(即把彈珠想象成質點)的情況下，路徑中能容納的最大彈珠量即為最大流量，最小割就是把容納的彈珠量和容量相同的邊都割去，得到的割即為最小割，顯然最大流=最小割，因為最大流量完全由路徑和容量決定。割去這些邊之后，彈珠是沒法從S滾落到t的。