小Hi：在上一周的Hiho一下中我們初步講解了網絡流的概念以及常規解法，小Ho你還記得內容么？
小Ho：我記得！網絡流就是給定了一張圖G=(V,E)，以及源點s和匯點t。每一條邊e(u,v)具有容量c(u,v)。網絡流的最大流問題求解的就是從s到t最多能有多少流量。
小Hi：那這個問題解決辦法呢？
小Ho：解決網絡流的基本思路就是尋找增廣路，不斷更新殘留網絡。直到找不到新的增廣路，此時得到的流就是該網絡的最大流。
小Hi：沒錯，看來你記得很牢嘛。
小Ho：哎嘿嘿，不過這里我有一個問題，為什么找不到增廣路時就已經找到了最大流呢？
小Hi：這一次我就來解決你的疑惑，首先我們要從網絡流的割開始講起。
對於一個網絡流圖G=(V,E)，其割的定義為一種點的划分方式：將所有的點划分為S和T=V-S兩個部分，其中源點s∈S，匯點t∈T。
對於一個割(S,T)，我們定義凈流f(S,T)表示穿過割(S,T)的流量之和，即：
f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T
舉個例子(該例子選自算法導論)：
凈流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19
同時我們定義割的容量C(S,T)為所有從S到T的邊容量之和，即：
C(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T
同樣在上面的例子中，其割的容量為：
c(2,4)+c(3,5)=12+11=23
小Ho：也就是說在計算割(S,T)的凈流f(S,T)時可能存在反向的流使得f(u,v)<0，而容量C(S,T)一定是非負數。
小Hi：你這么說也沒錯。實際上對於任意一個割的凈流f(S,T)總是和網絡流的流量f相等。比如上面例子中我們改變一下割的方式：
可以計算出對於這兩種情況凈流f(S,T)仍然等於19。
一個直觀的解釋是：根據網絡流的定義，只有源點s會產生流量，匯點t會接收流量。因此任意非s和t的點u，其凈流量一定為0，也即是Σ(f(u,v))=0。而源點s的流量最終都會通過割(S,T)的邊到達匯點t，所以網絡流的流f等於割的靜流f(S,T)。
嚴格的證明如下：
f(S,T) = f(S,V) - f(S,S) 從S到T的流等於從S到所有節點的流減去從S到S內部節點的流 f(S,T) = f(S,V) 由於S內部的節點之間存在的流一定有對應的反向流，因此f(S,S)=0 f(S,T) = f(s,V) + f(S-s,V) 再將S集合分成源點s和其他屬於S的節點 f(S,T) = f(s,V) 由於除了源點s以外其他節點不會產生流，因此f(S-s,V)=0 f(S,T) = f(s,V) = f
所以f(S,T)等於從源點s出來的流，也就是網絡的流f。
小Ho：簡單理解的話，也就是說任意一個割的凈流f(S,T)都等於當前網絡的流量f。
小Hi：是這樣的。而對於任意一個割的凈流f(S,T)一定是小於等於割的容量C(S,T)。那也即是，對於網絡的任意一個流f一定是小於等於任意一個割的容量C(S,T)。
而在所有可能的割中，存在一個容量最小的割，我們稱其為最小割。
這個最小割限制了一個網絡的流f上界，所以有：
對於任一個網絡流圖來說，其最大流一定是小於等於最小割的。
小Ho：但是這和增廣路又有什么關系呢？
小Hi：接下來就是重點了。利用上面講的知識，我們可以推出一個最大流最小割定理：
對於一個網絡流圖G=(V,E)，其中有源點s和匯點t，那么下面三個條件是等價的： 1. 流f是圖G的最大流 2. 殘留網絡Gf不存在增廣路 3. 對於G的某一個割(S,T)，此時f = C(S,T)
首先證明1 => 2：
我們利用反證法，假設流f是圖G的最大流，但是殘留網絡中還存在有增廣路p，其流量為fp。則我們有流f'=f+fp>f。這與f是最大流產生矛盾。
接着證明2 => 3：
假設殘留網絡Gf不存在增廣路，所以在殘留網絡Gf中不存在路徑從s到達t。我們定義S集合為：當前殘留網絡中s能夠到達的點。同時定義T=V-S。 此時(S,T)構成一個割(S,T)。且對於任意的u∈S,v∈T，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)<c(u,v)，則有Gf(u,v)>0，s可以到達v，與v屬於T矛盾。 因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。
最后證明3 => 1：
由於f的上界為最小割，當f到達割的容量時，顯然就已經到達最大值，因此f為最大流。
這樣就說明了為什么找不到增廣路時，所求得的一定是最大流。
小Ho：原來是這樣，我明白了。
輸入
第1行：2個正整數N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。
第2..M+1行：每行3個整數u,v,c(u,v)，表示一條邊(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。
給定的圖中默認源點為1，匯點為N。可能有重復的邊。
輸出
第1行：2個整數A B，A表示最小割的容量，B表示給定圖G最小割S集合的點數。
第2行：B個空格隔開的整數，表示S集合的點編號。
若存在多個最小割可以輸出任意一個的解。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 505 #define INF 0x3f3f3f3f struct Edge { int from,to,cap,flow; }; struct Dinic { int n,m,s,t; vector<Edge> edge; vector<int> G[maxn]; bool vis[maxn]; int d[maxn]; int cur[maxn]; void addEdge (int from,int to,int cap) { edge.push_back((Edge){from,to,cap,0}); edge.push_back((Edge){to,from,0,0}); m = edge.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool BFS() { memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int> Q; Q.push(s); d[s] = 0; vis[s] = 1; while(!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for(int i=0; i<G[x].size(); i++) { Edge & e = edge[G[x][i]]; if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow) { vis[e.to] = 1; d[e.to] = d[x] + 1; Q.push(e.to); } } } return vis[t]; } int DFS(int x,int a) { if(x==t||a==0) return a; int flow = 0,f; for(int & i = cur[x]; i<G[x].size(); i++) { Edge & e = edge[G[x][i]]; if(d[x] + 1==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0) { e.flow +=f; edge[G[x][i]^1].flow -=f; flow +=f; a-=f; if(a==0) break; } } return flow; } int Maxflow (int s,int t) { this->s = s;this->t = t; int flow = 0; while(BFS()) { memset(cur,0,sizeof(cur)); flow+=DFS(s,INF); } return flow; } //求最小割S,T; void new_BFS(int s,int n) { memset(vis,0,sizeof(vis)); d[s] = 0; vis[s] = 1; queue<int> Q; Q.push(s); while(!Q.empty()) { int u = Q.front(); Q.pop(); for(int i=0;i<G[u].size();i++) { Edge & e = edge[G[u][i]]; if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow) { vis[e.to] = 1; d[e.to] = d[u] + 1; Q.push(e.to); } } } int cnt = 0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(vis[i]) cnt++; } printf("%d\n",cnt); for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]) printf("%d ",i); puts(""); } }sol; int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0;i<m;i++) { int u,v,cap; scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap); sol.addEdge(u,v,cap); } printf("%d ",sol.Maxflow(1,n)); sol.new_BFS(1,n); return 0; }
我的理解：
首先一個任意的凈流f(s,t)都等於當前網絡的流量f.
割的容量C(s,t)，為所有從s到t的邊容量之和。就有c(s,t)>=f(s,t)，那么改變割的定義就會產生一個最小割。
而這個最小割限制了整個網絡的流f的上界，所以有：
最大流=最小割。
然后就是求最小割集：
Dinic算法，不停分層，按層增廣。求的最大流最小割。
然后就是求最小割集，一遍分層，標記分割s,t;