一個無向連通網絡，去掉一個邊集可以使其變成兩個連通分量則這個邊集就是割集；最小割集當然就權和最小的割集。
可以用最小切割最大流定理：
1.min=MAXINT,確定一個源點
2.枚舉匯點
3.計算最大流，並確定當前源匯的最小割集，若比min小更新min
4.轉到2直到枚舉完畢
5.min即為所求輸出min
不難看出復雜度很高：枚舉匯點要O(n)，最短增廣路最大流算法求最大流是O((n^2)m)復雜度，在復雜網絡中O(m)=O(n^2)，算法總復雜度 就是O(n^5)；哪怕采用最高標號預進流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法總復雜度也要O(n^4)
所以用網絡流算法求解最小割集復雜度不會低於O(n^4)。
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prim算法不僅僅可以求最小生成樹，也可以求“最大生成樹”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的應用實例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法證明和代碼，只提供算法思路：
1.min=MAXINT，固定一個頂點P
2.從點P用“類似”prim的s算法擴展出“最大生成樹”，記錄最后擴展的頂點和最后擴展的邊
3.計算最后擴展到的頂點的切割值（即與此頂點相連的所有邊權和），若比min小更新min
4.合並最后擴展的那條邊的兩個端點為一個頂點（當然他們的邊也要合並，這個好理解吧？）
5.轉到2，合並N-1次后結束
6.min即為所求，輸出min
prim本身復雜度是O(n^2)，合並n-1次，算法復雜度即為O(n^3)
如果在prim中加堆優化，復雜度會降為O((n^2)logn)
這個Stoer-Wagner算法可以參見這篇paper(http://docs.google.com /fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代縮小規模, 算法基於這樣一個事實:
對於圖中任意兩點s和t, 它們要么屬於最小割的兩個不同集中, 要么屬於同一個集.
如果是后者, 那么合並s和t后並不影響最小割. 基於這么個思想, 如果每次能求出圖中某兩點之間的最小割, 然后更新答案后合並它們再繼續求最小割, 就得到最終答案了. 算法步驟如下:
1. 設最小割cut=INF, 任選一個點s到集合A中, 定義W(A, p)為A中的所有點到A外一點p的權總和.
2. 對剛才選定的s, 更新W(A,p)(該值遞增).
3. 選出A外一點p, 且W(A,p)最大的作為新的s, 若A!=G(V), 則繼續2.
4. 把最后進入A的兩點記為s和t, 用W(A,t)更新cut.
5. 新建頂點u, 邊權w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 刪除頂點s和t, 以及與它們相連的邊.
6. 若|V|!=1則繼續1.
看起來很簡單, 每次像做最大生成樹一樣選最大"邊"(注意, 這里其實不是邊, 而是已經累計的權值之和, 就當是加權的度好了), 然后把最后進入的兩個點縮到一塊就可以了. 合並點最多有n-1次, 而不加堆優化的prim是O(n^2)的, 所以最終復雜度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代碼, 還可以在稀疏圖上用Fibonacci Heap優化一下, 不過網上轉了一圈, 大多都是說能用Fibonacci Heap優化到怎樣怎樣的復雜度, 真正能自己寫出來的恐怕也沒幾個, 看看uoregon(俄勒岡大學)的一大坨代碼就有點寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)
特別注意幾個地方, 網上的好幾個Stoer-Wagner版本都存在一些小錯誤:
1. 算法在做"最大生成樹"時更新的不是普通意義上的最大邊, 而是與之相連的邊的權值和, 當所有邊都是單位權值時就是累計度.
2. "最后進入A的兩點記為s和t", 網上對s有兩種解釋, 一是在t之前一個加進去的點, 二是t的前趨節點, 也就是最后選擇的那條邊的另一端. 正解是第一種!
3. 對於稠密圖, 比如這題, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的優先隊列都會TLE, 還不如老老實實O(n^3).
POJ 2914模板
//就是最小割集，可以使用最小割 Stoer-Wagner 算法 //題意就是要去掉一些邊，使得可以分成兩個集合，並且使得去掉的邊的權值和為最小 /* 算法步驟： 1. 設最小割cut=INF, 任選一個點s到集合A中, 定義W(A, p)為A中的所有點到A外一點p的權總和. 2. 對剛才選定的s, 更新W(A,p)(該值遞增). 3. 選出A外一點p, 且W(A,p)最大的作為新的s, 若A!=G(V), 則繼續2. 4. 把最后進入A的兩點記為s和t, 用W(A,t)更新cut. 5. 新建頂點u, 邊權w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 刪除頂點s和t, 以及與它們相連的邊. 6. 若|V|!=1則繼續1. */ const int N = 501; const int MAXV = 0x3F3F3F3F; int n,m,v[N];//經過合並后的第i個節點v[i] int mat[N][N]; int dis[N];//dis[i]表示w(A,v[i]) bool vis[N]; int res; inline int min(int a, int b){ return a < b ? a : b; } int Stoer_Wagner(int n) { int i, j; int res = MAXV; for (i = 0; i < n; i++) v[i] = i;//初始化第i個結點就是i while (n > 1) { int maxp = 1,prev = 0; for (i = 1;i < n;i++){ //初始化到已圈集合的割大小,並找出最大距離的頂點 dis[v[i]] = mat[v[0]][v[i]]; if (dis[v[i]] > dis[v[maxp]]) maxp = i; } memset(vis, 0, sizeof(vis)); vis[v[0]] = true; for (i = 1;i < n;i++) { if (i == n - 1){ //只剩最后一個沒加入集合的點，更新最小割 res = min(res,dis[v[maxp]]); for (j = 0; j < n; j++){ //合並最后一個點以及推出它的集合中的點 mat[v[prev]][v[j]] += mat[v[j]][v[maxp]]; mat[v[j]][v[prev]] = mat[v[prev]][v[j]]; } v[maxp] = v[--n];//第maxp個節點去掉，第n個節點變成第maxp個 } vis[v[maxp]] = true; prev = maxp; maxp = -1; for (j = 1;j < n;j++) if (!vis[v[j]]){ //將上次求的maxp加入集合，合並與它相鄰的邊到割集 dis[v[j]] += mat[v[prev]][v[j]]; if (maxp == -1 || dis[v[maxp]] < dis[v[j]]) maxp = j; } } } return res; } int main(){ while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { memset(mat, 0, sizeof (mat)); int x,y,z; while (m--) { scanf("%d%d%d", &x, &y, &z); mat[x][y] += z; mat[y][x] += z; } printf("%d\n",Stoer_Wagner(n)); } return 0; }