素數的篩法有很多種，但是基礎就是對素數的判定。即，我們需要知道什么是素數，以及素數的一些性質，那么我們先講一講素數的性質（這一部分一定要好好掌握，對考試有很大的幫助）：
定義：只有1和自身作為因子（就是因數，不用我再贅述了）的數叫做素數（也叫質數）。
性質（1）：以π（x）表示不超過x的素數個數，可以證明----lim π（x） ln x ÷ x = 1（lim表示x趨近於正無窮）
根據這一性質，我們可以推得一個式子，它長這樣：
lim π（x） = x / ln x，
雖然我暫時還沒有用到這個式子，但是聽鍾神說可以利用這個式子估計算法的復雜度，就先記下來了。
性質（2）：設a是任意大於1的整數，則a的除1以外的最小正約數q必是素數；當a是合數時，q ≤ sqrt( a )
我們來證明一下：
我們可以用反證法，假設q不是素數，由q不為一可得q一定是合數，此時，存在q1為q的因子，且滿足1 < q1 < q，q1 | q；又因為q |a，這與q是a的除1以外的最小正約數矛盾；
當a是合數時，設a = a1q，其中q為a的除1以外的最小正約數，則a1 ≥ q，q2 ≤ a，即q ≤ sqrt ( a )
性質（3）：素數有無窮多個
下面來證明這個結論：
用反證法，假設自然數中只有有限多個素數，可以記為P1 ，P2 ，P3 ……Pk ，這時存在一個正整數N = P1P2P3 ……Pk +1，這時由性質（2）可得一定有一個素數P，使得P | N，但是P一定不是已知的素數（否則P | 1），我們就找到了另一個素數，與假設不相符，得證
講完了這幾個性質，我們便可以進行對素數的判別了（這一部分我將結合代碼實現講解）
篩法一：暴力篩
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdlib> 4 #define maxn 10000010 5 using namespace std; 6 bool zi_ran_shu[maxn]; 7 bool shai_su_shu(int); //如果這個數是質數，就返回1，否則，就返回0； 8 int main() 9 { 10 int m; 11 scanf("%d",&m); 12 for(int i=1;i<=m;++i) 13 if(shai_su_shu(i)) zi_ran_shu[i]=1;//對每一個小於m的數進行判定，把判定結果存到zi_ran_shu數組里； 14 for(int i=1;i<=m;++i) 15 if(zi_ran_shu[i]) printf("%d ",i); 16 return 0; 17 } 18 19 bool shai_su_shu(int a) 20 { 21 if(a==1) return 0; 22 if(a==2) return 1; //對1和2的特判 23 for(int i=2;i<=a-1;++i)//要從i=2開始模擬對a做除法，一直枚舉到a-1； 24 if(a%i==0) return 0;//如果出現可以整除a的數，就說明a不是一個素數，return 0; 25 return 1;//如果沒有找到一個數可以整除a，就說明a是一個素數，return 1; 26 }
接下來，思考對這個算法的優化；
如果沒有思路，看看這句話 = = > 結合性質（2），可以想到將篩_素_數函數中的循環改成循環到sqrt（a），這樣就完成了優化，這其實就是誒氏篩法
篩法二：線性篩
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdlib> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<iomanip> 7 #include<cstring> 8 #include<string> 9 #define maxn 10000010 10 using namespace std; 11 int prime[maxn],tot=0; 12 bool is_prime[maxn]; 13 int main() 14 { 15 memset(is_prime,true,sizeof(is_prime)); 16 int n; 17 scanf("%d",&n); 18 for(int i=2;i<=n;++i) 19 { 20 if(is_prime[i]==true) prime[tot++]=i; 21 for(int j=0;j<tot && i*prime[j]<=n;++j) 22 { 23 is_prime[i*prime[j]]=false;//對所有質數的倍數進行排除（線性篩主要是減少了這一步的重復） 24 if(i%prime[j]==0) break; 25 } 26 } 27 for(int i=0;i<=n;++i) 28 { 29 if(prime[i]) printf("%d ",prime[i]); 30 } 31 return 0;
篩法三：Miller-Rabbin素性測試
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdlib> 4 using namespace std; 5 int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89}; 6 7 int kuaisumi(int a,int b,int c){ 8 int ans = 1; 9 int base = a%c; 10 while(b){ 11 if(b & 1) ans = (ans*base)%c; 12 base = (base*base)%c; 13 b >>= 1; 14 } 15 return ans; 16 } 17 18 bool miller_rabin(int a,int n) 19 { 20 int d=n-1,r=0; 21 while (d%2==0) 22 d/=2,r++; 23 int x = kuaisumi(a,d,n); 24 if (x==1) return true; 25 for (int i=0;i<r;i++) 26 { 27 if (x==n-1) return true; 28 x=(long long)x*x%n; 29 } 30 return false; 31 } 32 33 bool is_prime(int n) 34 { 35 if (n<=1) return false; 36 for (int a=0;a<8;a++) 37 if (n==gg[a]) return true; 38 for (int a=0;a<8;a++) 39 if (!miller_rabin(gg[a],n)) return false; 40 return true; 41 } 42 43 int main() 44 { 45 int n; 46 scanf("%d",&n); 47 for(int i=1;i<=n;++i) 48 if(is_prime(i)) printf("%d ",i); 49 return 0; 50 }
先來介紹原理：如果n為素數，取a < n，設n - 1 = d * 2r 則要么ad ≡ 1（mod n），要么存在0 < i < r ，s.t.ad*2i ≡ -1 ( mod n )
知道了原理，就可以帶進幾個數進行計算，得出是否為素數（代碼中的gg數組中的幾個質數在int范圍內不會判斷出錯），至於代碼，也比較好理解，就不再說了。
這就是本篇博文的所有內容，請大佬們多多指正，不喜勿噴QwQ
2019-04-09 21:31:23