埃氏篩法(素數篩)

1. 埃式篩法：給定一個正整數n(n<=10^6)，問n以內有多少個素數？

    

做法：做法其實很簡單，首先將2到n范圍內的整數寫下來，其中2是最小的素數。將表中所有的2的倍數划去，表中剩下的最小的數字就是3，他不能被更小的數整除，所以3是素數。再將表中所有的3的倍數划去……以此類推，如果表中剩余的最小的數是m，那么m就是素數。然后將表中所有m的倍數划去，像這樣反復操作，就能依次枚舉n以內的素數，這樣的時間復雜度是O(nloglogn)。

 

題解：如果要是按照一個一個判斷是否是素數然后把ans+1，時間復雜度為O(n√n)，對於10^6的數據時間復雜度就是O(10^9)，必定會超時，但此時埃氏篩法的時間復雜度只有O(nloglogn)。

int prime[MAXN];//第i個素數
bool is_pri[MAXN+10];//is_pri[i]表示i是素數
//返回n以內素數的個數
int sieve(int n){
int p=0;
for(int i=0;i<=n;i++)is_pri[i]=true;
is_pri[0]=is_pri[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(is_pri[i]){
prime[++p]=i;
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i)is_pri[j]=false;
}
}
return p;
}

1. 區間素數篩：給定兩個正整數a、b(a<b<=10^12、b-a<=10^6)，請問[a,b)內有多少個素數？

    

   主要思想：既然在之前已經講過b以內的和書的最小質因數不會超過√b。如果有√b以內的素數表的話，就可以把埃氏篩法運用在上面了。也就是說，我們可以先分別做好[2,√b)的表和[a,b)然后在第一個表的是素數的前提下，刪去第二個表中的數即可。

   #include<iostream>
   using namespace std;
   bool pri[1000000+10];
   bool ispri[10000000+10];//ispri[i-a]=true代表i是素數
   
   void getpri(){
       memset(pri,true,sizeof(pri));
       pri[0]=pri[1]=0;
       for(int i=2;i<=1000000;i++){
           if(pri[i]){
               for(int j=2*i;j<=1000000;j+=i)pri[j]=0;
           }
       }
   }
   
   int main(){
       long long a,b;
       scanf("%lld%lld",&a,&b);
       getpri();
       memset(ispri,true,sizeof(ispri));
       for(long long i=2;i*i<b;i++){
           if(pri[i]){
               for(long long j=max((a+i-1)/i,2LL)*i;j<b;j+=i)
                   ispri[j-a]=0;
           }
       }
       long long cnt=0;
       for(int i=0;i<b-a;i++)if(ispri[i])cnt++;
       if(a==1)cnt--;
       printf("%lld\n",cnt);
   }