質數的兩種常用判斷方法——埃氏篩法和歐拉篩法

1.埃氏篩法:時間復雜度是O(nlognlogn)，打表把一定范圍內的質數都記錄在數組里所以空間復雜度較高。具體的實現是通過兩個數組一個prime記錄當前范圍的質數序號，另一個isprime判斷是否是素數，將isprime初始化為1，從i=2開始遍歷標記所有i的倍數的數的isprime為零。

代碼:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define mem(s,n) memset(s,n,sizeof s);
typedef long long ll;
const int maxn=9e2+1;
const int Inf=0x7f7f7f7f;
bool isPrime[maxn];
int primes[maxn];
//當然，當數據太大導致普通數組存不下的時候，可以采用stl里的vector來存
int cnt;
void judgePri()
{
    mem(isPrime, 1);
    cnt = 0;
    isPrime[1] = 0;//1特殊處理 
    for (int i = 2; i < maxn; i++) 
    {
        if (isPrime[i] == 1)
        {
            primes[cnt++] = i;
            for (int j = i; j < maxn; j += i) //標記i在N范圍內的所有倍數
            {
                isPrime[j] = 0;
            }
        }
    }
}
 
int main(void)
{
    judgePri();
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
    {   
        if(i%9==0) cout<<endl;
        printf("%d ", primes[i]);
    }
    return 0;
}

 

然而我們會發現一個問題就是有重復標記的情況，舉個例子6第一次i=2時就已經標記了但是i=3又遍歷了一次，這樣其實就是浪費操作了，所以引入一種改進算法歐拉算法。

2.歐拉算法：時間復雜度O(n)，主體思路還是建立在埃氏篩法的基礎上，對其重復標記進行了優化。我們很容易想到只用合數中的一個因數篩選掉這個合數。思路實現——利用前面求得的質數，從小到大遍歷如果i被prime[j]整除那么跳出循環，同時也把i*prime[j]遍歷了標記成合數。(具體實現見代碼）

代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define mem(s,n) memset(s,n,sizeof s);
typedef long long ll;
const int maxn=9e2+1;
const int Inf=0x7f7f7f7f;
bool isPrime[maxn];
int primes[maxn];
int cnt;
void judgePri() 
{
    int temp;
    mem(isPrime, 1);
    cnt = 0;
    isPrime[1] = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if (isPrime[i] == 1)
        primes[cnt++] = i;
        //優化
        for (int j = 0; j < cnt && (temp = i * primes[j]) < maxn; j++) //找i之前的所有質數 
        {
            isPrime[temp] = 0;//i * primes[j]肯定是合數，先標記掉 
            if (i % primes[j] == 0)//關鍵，每次整除一個最小的質數將會跳出循環，所以每個數字，只會被最小的質數篩一次 
            {
                break;
            }
        }
        //優化 
    }
}
 
int main(void)
{
    judgePri();
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
    {   
        if(i%9==0) cout<<endl;
        printf("%d ", primes[i]);
    }
    return 0;
}

 3.常用板子：

int  f[maxn];//f[i]表示i的因子個數
int pri[maxn];
int notpri[maxn];
int prime[maxn];
ll p[maxn]; // p[i] 表示 i由幾個素因子組成如 p[6]=2 2*3 p[8]=3 2*2*2
void init(){
    now=0;f[1]=1;
    notpri[0]=notpri[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn-1;i++){
        if(!notpri[i])pri[++now]=i,f[i]=2,p[i]=1;
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<=maxn-1;j++){
            notpri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){//有pri[j]作為質因子時
                f[i*pri[j]]=f[i]*(p[i]+2)/(p[i]+1);
                p[i*pri[j]]=p[i]+1ll;
                break;
            }
            f[i*pri[j]]=f[i]*f[pri[j]];//互質則直接乘
            p[i*pri[j]]=p[i]+1ll; 
        }
    }
    // rep(i,1,10) {
    //     cout<<i<<" "<<p[i]<<endl;
    // }
    rep(i,1,maxn-1) pre[i]=pre[i-1]+p[i];
}