【數論】埃氏篩法

　　這學期的離散數學課程學了一點初等數論，其中的埃氏篩法當時課上沒有太懂，課后看了《挑戰程序設計競賽》一書終於弄懂了。（這本書確實很好！算法簡潔優美。）

　　如果只對一個整數進行素性測試，通常O(√n )的算法就足夠了。但如果要對許多整數進行素性測試，則有更為高效的算法，其中就包括埃拉托斯特尼篩法，簡稱埃氏篩法。它是一個與輾轉相除法一樣古老的算法，可以用於枚舉n以內的素數。

　　首先，我們將2到n范圍內的所有整數寫下來。其中最小的數字2是素數。將表中所有2的倍數都划去。表中剩余的最小數字是3，它不能被更小的數整除，所以是素數。再將表中所有3的倍數都划去。依此類推，如果表中剩余的最小數字是m時，m就是素數。然后將表中所有m的倍數都化去。像這樣反復操作，就能依次枚舉n以內的素數。

 

 

如圖所示，最終我們就能得到20以內的所有素數。埃氏篩法的復雜度僅有O(nlognlogn)。對於程序設計競賽中的數據規模，將它的復雜度看作大致線性的也無妨。下面給出代碼： 

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

//埃氏篩法

const int MAX_N = 10005;
int prime[MAX_N];  //第i個素數
bool is_prime[MAX_N+1];  //is_prime[i]為true時表示i是素數

//返回n以內素數的個數
int sieve(int n){
    int p = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++] = i;
            for(int j = 2*i; j <= n; j+=i) is_prime[j] = false;  //篩去所有素數的倍數
        }
    }
    return p;
}


int main()
{
    int n;  //枚舉n以內素數
    while(cin>>n){
       int p = sieve(n);
        cout<<p<<endl;
        for(int i = 0; i < p;i++)
            cout<< prime[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}