線性篩法

關於線性篩法

線性是指O（n）內篩掉所有合數，還有一種方法叫埃氏篩法，我先證明埃氏篩法效率低，也就是會有重復。

證明如下：

埃氏篩法的原理是找到一個素數后，它的1~n倍就會被篩掉，任何一個合數都可以被拆成一個質數*另一個數的形式，我們對每一個質數對應的可能的（合）數都枚舉了，這就保證了所有可能的合數都被篩掉了。為什么不是最優呢？問題出在那個質數上，對於一個合數m，m=h*P,P是質數且P>m的最小質因數，那么m也可以表示為m=H*p,（H是個比h大的合數，p是m的最小質因數），這樣我們在枚舉p的倍數時，m就被篩掉了，而在枚舉P的倍數時，m又被篩掉了一次，造成效率浪費。

怎辦呢?--------線性篩法

我們在枚舉倍數時，保證當前質數不能整除這個倍數就好了，當然了，在之前要先篩一次，也就是p是m的p，這樣我們在最優性的條件下，對每一個質數，它所有對應的倍數，都被枚舉到，也就保證了可行性。

代碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt;
int prime[100000];
bool vis[100000];

void Euler(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            break;
        }
    }
}

int main(){
  cin>>n;
  Euler();
  for(int i=1;i<=cnt;i++)
  cout<<prime[i]<<' ';
  return 0;
}

里面關鍵就是那個break,如果不break，就是再往大里枚舉，那么以后枚舉到的質數，一定不是最小質數，因為它都比當前質數大了，怎么可能最小，最小也只可能是當前的質數，從而實現了優化。