線性篩法（一）--素數篩法（一）

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• 篩法

篩法

所謂篩法是一種思想，就像名字一樣，篩去多余的，篩去錯誤的。多數情況用數組標記，復雜度看起來很大，但代碼跑起來確是越跑越快。

素數篩法

問題引入

把n以內素數全找出來(n<=100000)

大家一定想得到第一種方法，暴力，遍歷。

//暴力
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int isprime(int n)
{
	n = sqrt(n);
	for(int i = 2; i < n; i++)
	{
		if(n%i==0)
			return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if(isprime(n))
			printf("%d ",i);
	}
	return 0;
}

注：用n=sqrt(n),可以增加運算速度,畢竟sqrt也是很慢的。但是這種方法還是很慢，慢在每次都要判斷。

接下來看篩法

代碼分析

所謂素數，就是不能表示為比它更小的數的乘積。
且，任何一個素數的倍數一定不是素數。

我們先定義一個數組來存100000以內數是否的素數，下標表示數，數組的值1表示是素數，0表示不是素數。

我們可以換個角度思考，要找素數，其實只要把不是素數的排除就可以了。

接下來我們可以構造一張表。
初始

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

我們可以把2的倍數變成1，因為任何一個素數的倍數一定不是素數。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

然后是3的倍數

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	0	1	0	1	0	1	1	1

。。。。。。

照這樣就可以得到一張素數表了，哈哈。
看代碼。

//篩選法
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int a[100001];
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) == 1)
	{
		for(int i = 2; i <= n; i++)
		{
			if(a[i] == 0)
			{
				for(int j = i*2; j < n; j+=i)
					a[j] = 1;
			}
		}
		printf("2");
		for(int i = 3; i <= n; i++)
		{
			if(a[i] == 0)
			printf(" %d",i);	
		}
	}
	reutrn 0;
}

這個代碼還可以改進。
第一，我們不用篩到n，其實只要和暴力方法一樣，篩到sqrt(n)就可以了。
第二，我們篩3時多篩了3*2，篩5時多篩了5*2,5*3,5*4。只要從i*i開始篩就可以了。

//篩選法優化一
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int a[100001];
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) == 1)
	{
		n = sqrt(n);
		for(int i = 2; i <= n; i++)
		{
			if(a[i] == 0)
			{
				for(int j = i*i; j < n; j+=i)
					a[j] = 1;
			}
		}
		printf("2");
		for(int i = 3; i <= n; i++)
		{
			if(a[i] == 0)
			printf(" %d",i);	
		}
	}
	reutrn 0;
}

其實還可以改進，這里我就不說了。
把2的情況用位運算，再把j+=i變為j+=2*i

總結

看起來時間復雜度為O(n*n)，其實在處理很多數據時，它是越跑越快，相當於O(6*n)。

另外

1，如果要判斷素數個數，可以用一個數組存一下有幾個，結合篩法，也是很方便的。
2，如果要判斷50-100有幾個素數，只要（100的素數個數-50的素數個數），再判斷一下100與50的素數情況。
3，這種篩法叫埃拉托斯特尼篩法。

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