素數專題——素數篩法

關於素數的判斷，大家最常用的方法估計就是循環判斷到sqrt(n)的方法了：（直接上代碼）

bool isprime(int n)
{
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
		return false;
	}
	return true;
}

　　

這種素數的判斷方法的確直觀，但這種算法只對較小數據量適用，當數據量較大時，該方法就不再適用於素數的判定了。因此，我們此處引入一種新的算法——素數篩法。

首先介紹一下什么叫素數篩法：

假設所有待判斷的數字的上限是L，聲明一個長度為L＋1的布爾數組A[L＋1]。用這個數組來表示對應下標的數字是不是素數。起初，將數組所有成員標記為1，然后按照某種方法將其中的非素數都標記為0即可，完成后的數組有這樣的特征：所有素數為下標的成員內存的數字都是1，所有非素數為下標的成員內存的數字都是0。例如 ：2 是素數，那么A[2]＝1；4不是素數，那么A[4]＝0。因此，我們獲取了一個素數表。這樣，判斷一個數是不是素數，直接查找即可。這樣，我們在使用素數的時候就無需再進行素數的判斷，這將大大縮短程序的運行時間，雖然我們需要提前計算素數表，但這相比較於用的時候再進行素數的判定，無疑是一個巨大的進步。下面介紹如何進行素數的標記：

這個標記的方法是這樣的：1不是質數，也不是合數，標記0。第二個數2是質數標記為1，而把2后面所有能被2整除的數都標記為0。2后面第一個沒划去的數是3，把3標記為1，再把3后面所有能被3整除的數都標記為0。3后面第一個沒划去的數是5，把5標記為1，再把5后面所有能被5整除的數都標記為0。這樣一直做下去，就會把不超過N的全部合數都標記為0，留下的就是不超過N的全部質數。因為希臘人是把數寫在塗臘的板上，每要划去一個數，就在上面記以小點，尋求質數的工作完畢后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼篩法”，簡稱“篩法”。

int prime[MAXN];//素數數組
bool isprime[MAXN + 10];//is_prime[i]表示i是素數
//返回n以內素數的個數
int sieve(int n)
{
    int p = 0;//素數個數計數器
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_pri[1] = false;//首先標記0和1不是素數
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i]) //如果i是素數
        {
            prime[++p] = i;//將素數放進素數表
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)//所有i的倍數都不是素數
                is_prime[j] = false;
        }
    }
    return p;
}

 

當然這個方法已經有很大的改進了，但是仍然存在會有重復篩掉某一合數，增加無用計算的現象，例如，刪3的倍數時15標記為0，刪15的倍數時，同樣再一次將15標記為0。這還不夠精簡，因此有人將這個方法進行了改進：

首先初始A［1］＝0，A［2］＝1；

其次，將所有偶數下標的成員全部置為0，

接下來求出 t＝√A 

接下來從i＝3開始到i＝t開始當A［i］＝1時進行下列操作

｛

   從 j＝i＊i 開始，到 j＝L 結束，每次 j 加 2＊i 讓A［j］＝0

｝

改進原理如下：

將1和2進行初始化很容易理解

接着是將所有的偶數標記為0，這也很好理解，因為除了2之外所有的偶數都不是素數，這樣一來，數據處理量直接縮小一半，爽！！！！

接下來就是問題的關鍵了，也是比較難理解的一部分，為什么再循環判斷的時候到√A 就結束了哪？我們是這樣解釋的，因為在內部循環中我們是讓 j 從i * i 開始循環的，如果 i > √A ,呢么我們一定可以保證 i *  i 是大於 L 的，所有就沒有必要再繼續循環了。內循環的處理原理是這樣的：實際上我們處理的是 i 的倍數是不是素數的問題.

為什么 i 從3 開始 到 t 便可以結束呢？原因是循環之內（黃色字體）的 j 每次是以 i ＊ i 為初始值進行判斷的， 如果 i > t ，那么 i ＊ i 一定 大於 L，所以 就沒必要進行 t 之后的循環了。只判斷 A［ i ］＝ 1（即 A［ i ］是奇數）的情況，原因是 循環之內的處理，實際上處理的是 i 的倍數是不是素數的問題，大家都清楚，不僅 2 的所有倍數是偶數，所有偶數的倍數都是偶數。

在解釋循環之內（黃色字體）的內容，有人很好奇，為什么不用考慮     i ＊3 到 i ＊（ i－1）之間的數呢，那么假設 有一個數 p 介於 3 和（ i － 1）之間， 顯然 ，如果 i ＊ p 是小於 L 范圍之內的數， 在 i ＝ p

的時候，就應該判斷過這個數了。

j ＝ i ＊ i 是非素數，這個就很明顯了。

至於為什么 j 每次的增量是 2 ＊ i ，而不是 i 呢？因為奇數個奇數相加一定是奇數，偶數個奇數相加一定是偶數。首先我們已經在判斷時保證 i 是 奇數，那么 i 個i 相加就可以表示為 i ＊ i，如果增量是 i 且 i ＊ i

是奇數的話，i ＊ i ＋i 必定是偶數， i＊i＋2i 才是奇數，也就說增量是 i 的時候，每兩次循環中，有一次 就判斷偶數（偶數之前已經被排除過了），這樣豈不是違背了要提高效率的初衷？因此，在當前循環中需

要處理的只是 奇數且是非素數的情況。j ＝i ＊ i＋2i＝i ＊（ i ＋ 2）顯然也是非素數，以此類推 j ＝ j ＋2*i 是非素數，直至該數超過上限結束本次循環。

這樣就保證萬無一失且不重復的排除所有情況啦。

好了直接上代碼

int prime[MAXN];//素數數組
bool isprime[MAXN + 10];//is_pri[i]表示i是素數
//返回n以內素數的個數
int sieve(int n)
{
    int p = 0;//素數個數計數器
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;//首先標記0和1不是素數
    is_prime[2] = true;//標記2是素數

    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
    {
        if (is_prime[i]) //如果i是素數
        {
            prime[++p] = i;//將素數放進素數表
            for (int j = i * i; j <= n; j += 2 * i)//所有i的倍數都不是素數
                is_prime[j] = false;
        }
    }
    return p;
}