篩法求素數

前言

素數（質數）：除了1和它本身以外不再有其他因數（能被整除的數）
合數：除了能被1和本身整除外，還能被其他數整除的數
互質：公約數只有1的兩個整數

題目：判斷1-n的范圍內有多少個素數？oj練習
判斷一個數是否為素數，一般會想到以下代碼

//時間復雜度O(n*sqrt(n))
bool sushu(int n){
    if(n<=1) return 0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){
        if(n%2==0) return 0;
    }
    return 1;
}

當n取很大時，每判斷一個數 i（1<=i<=n）是否為素數，都要枚舉sqrt(i)次，時間復雜度接近O(n^2)，
提前建立一張素數表，再通過查表的方式來判斷素數。而這里打表的算法，就需要用到篩法，把表中不是素數的篩去
這里介紹兩種常用的篩法：埃氏篩、歐拉篩（線性篩）

埃氏篩

埃氏篩的思想：素數的倍數都不是素數，如2的倍數（即偶數）都不是素數
用一個prime[n] bool數組來打表，prime[i]=0表示i是素數，prime[i]=1表示i不是素數
一開始都初始化為0，都認為是素數，然后慢慢把不是素數的篩去（prime[i]標為1）
先標記prime[1]=1，因為1不是素數
接着從2開始，把2的所有倍數（合數）都一個個篩去（prime[2*2]、prime[2*3]...）

//時間復雜度O(nloglogn)
#define ll long long
ll n;
bool prime[1000005]; //一開始都認為是質數（初始化為0），0代表是質數，1代表不是
void ai_shai(){
    prime[1]=1; //1不是質數
    for(ll i=2;i<=n;++i)
        if(prime[i]==0) //如果是質數
            for(ll j=i*i;j<=n;j+=i) //從i*i開始篩選 因為2*i~(i-1)*i 之前已被2~(i-1)篩出來了
                prime[j]=1; //質數的倍數都不是質數
}

上述的從i*i開始篩選可以理解為，比如輪到3的時候，可以從3*3開始篩選，因為3*2已經被2*3篩去了

還有為什么要判斷是否為素數后再進行篩選，比如4不是素數，4的倍數8、16等之前已經被2給篩過了2*4、2*8，就會產生多余步驟

歐拉篩（線性篩）

埃氏篩的時間復雜度為O(nloglogn)，如何更進一步的優化？
仔細觀察可發現，上面的埃氏篩也有一些重復計算，有些數會被不同的素數篩多次，比如30=3*10，30=5*6等
所以歐拉篩的思想就是：在埃氏篩的基礎上，讓每個合數只被其最小的質因數篩一次
這使得歐拉篩的時間復雜度可以達到O(n)的線性復雜度，所以歐拉篩也稱線性篩

建立兩個數組，一個是bool類型的素數表prime[]，用來表示prime[i]是不是素數。另一個是int類型用來存儲每個素數的數組zyz[]，每個素數都會成為某個合數的最小質因子
代碼如下，注釋詳細：

//時間復雜度O(n)
bool prime[1000005]; //1代表不是素數，0代表是素數
int zyz[1000005]; //合數最小的質因子，也記錄着每一個質數
int cnt=0; //記錄質數的個數
void ol_shai(){
    prime[1]=1; //1不是質數
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(prime[i]==0) //如果是質數
            zyz[++cnt]=i; //i是一個素數，存入zyz數組中
        for(int j=1;j<=cnt&&i*zyz[j]<=n;++j){ //每個素數對應i倍的合數篩去
            prime[i*zyz[j]]=1; //合數i*zyz[j]的最小質因子是zyz[j]
            if(i%zyz[j]==0) break;
            //如果zyz[j]還是i的最小質因數，后面的合數i*zyz[j+1]會被zyz[j](最小質因數)篩去
        }
    }
}

其中有關break的語句，這里拿出來再解釋一下
因為zyz[j]是從小到大遍歷的素數集合，如果i%zyz[j]=0，那么zyz[j]一定是i的最小質因數
如果i%zyz[j]=0，這里設一個數k，k*zyz[j]=i，下一個循環的i*zyz[j+1]可以分解為k*zyz[j]*zyz[j+1]，其中最小質因數為zyz[j]，所以會在i=（k*zyz[j+1]）時被zyz[j]篩選出來

舉個例子，i=10，j=1，zyz[1]=2，10%2=0，如果沒有break，而是繼續循環 j=2，zyz[2]=3，i*zyz[2]=10*3=5*2*3=2*15，最小質因數為2（zyz[1]），會在i=15的時候，被zyz[1]=2篩出來
這個關鍵的break保證了一個合數只被其最小質因數篩出，使得O(n)的時間復雜度得以成立