之前在解釋求素數的一道習題時，提過一個方法，叫素數篩法。下面就對這種方法的過程進行詳細的解讀。
之前提到
假設所有待判斷的數字的上限是L，聲明一個長度為L＋1的布爾數組A[L＋1]。用這個數組來表示對應下標的數字是不是素數。起初，將數組所有成員標記為1，然后按照某種方法將其中的非素數都標記為0即可，完成后的數組有這樣的特征：所有素數為下標的成員內存的數字都是1，所有非素數為下標的成員內存的數字都是0。例如 ：2 是素數，那么A[2]＝1；4不是素數，那么A[4]＝0。這樣，判斷一個數是不是素數，直接查找即可。
這個標記的方法是這樣的：1不是質數，也不是合數，標記0。第二個數2是質數標記為1，而把2后面所有能被2整除的數都標記為0。2后面第一個沒划去的數是3，把3標記為1，再把3后面所有能被3整除的數都標記為0。3后面第一個沒划去的數是5，把5標記為1，再把5后面所有能被5整除的數都標記為0。這樣一直做下去，就會把不超過N的全部合數都標記為0，留下的就是不超過N的全部質數。因為希臘人是把數寫在塗臘的板上，每要划去一個數，就在上面記以小點，尋求質數的工作完畢后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼篩法”，簡稱“篩法”。
當然這個方法會有重復篩掉某一合數的現象，例如，刪3的倍數時15標記為0，刪15的倍數時，同樣再一次將15標記為0。這還不夠精簡，因此有人將這個方法進行了改進：
首先初始A［1］＝0，A［2］＝1；
其次，將所有偶數下標的成員全部置為0，
接下來求出 t＝√A
接下來從i＝3開始到i＝t開始當A［i］＝1時進行下列操作
｛
從 j＝i＊i 開始，到 j＝L 結束，每次 j 加 2＊i 讓A［j］＝0
｝
以上的改進主要是從減少重復判斷次數這個方向來進行改進的。
改進的原理如下：
1⃣️首先，將1 和 2 進行初始，1 為非素數，A［1］＝ 0， 2 為 素數，A［2］＝ 1。
2⃣️所有的偶數都是2的倍數，也就意味着，所有的偶數都能被2整除，因此所有偶數不是素數。那么將所有偶數下標的成員賦值為0是合理的。這就將素數的范圍縮小為奇數。
3⃣️為什么 i 從3 開始 到 t 便可以結束呢？原因是循環之內（黃色字體）的 j 每次是以 i ＊ i 為初始值進行判斷的， 如果 i > t ，那么 i ＊ i 一定 大於 L，所以 就沒必要進行 t 之后的循環了。只判斷 A［ i ］＝ 1（即 A［ i ］是奇數）的情況，原因是 循環之內的處理，實際上處理的是 i 的倍數是不是素數的問題，大家都清楚，不僅 2 的所有倍數是偶數，所有偶數的倍數都是偶數。
4⃣️現在解釋循環之內（黃色字體）的內容，有人很好奇，為什么不用考慮 i ＊3 到 i ＊（ i－1）之間的數呢，那么假設 有一個數 p 介於 3 和（ i － 1）之間， 顯然 ，如果 i ＊ p 是小於 L 范圍之內的數， 在 i ＝ p 的時候，就應該判斷過這個數了。
j ＝ i ＊ i 是非素數，這個就很明顯了。
至於為什么 j 每次的增量是 2 ＊ i ，而不是 i 呢？因為奇數個奇數相加一定是奇數，偶數個奇數相加一定是偶數。首先 i 是 奇數，那么 i 個i 相加就可以表示為 i ＊ i，如果增量是 i 且 i ＊ i 是奇數的話，i ＊ i ＋i 必定是偶數， i＊i＋2i 才是奇數，也就說增量是 i 的時候，每兩次循環中，有一次 就判斷偶數（偶數之前已經被排除過了），這樣豈不是違背了要提高效率的初衷？因此，在當前循環中需要處理的只是 奇數且是非素數的情況。j ＝i ＊ i＋2i＝i ＊（ i ＋ 2）顯然也是非素數，以此類推 j ＝ j ＋2*i 是非素數，直至該數超過上限結束本次循環。
這樣就保證萬無一失且不重復的排除所有情況啦。
初看這個方法，覺得好奇怪，仔細品味，回味無窮。
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