線性篩法

線性篩法

Eratosthenes 篩法利用的原理是 任意整數 x 的倍數 2x，3x，... 等都不是質數 。

但是即便如此也會有重復標記的現象，例如12既會被2又會被3標記，在標記2的倍數時，\(12 = 6*2\)，在標記3的倍數時，\(12 = 4*3\) ，根本原因是沒有找到唯一產生12的方式。

線性篩法的核心原理

每個合數必有一個最大因子（不包括它本身），用這個因子把合數篩掉

換言之：每個合數必有一個最小素因子，用這個因數把合數篩掉

過程

假設對於一個確定的整數 \(i\)，\(i\) 是一個合數 \(t\) 的最大因數，\(t\) 顯然可能不唯一（例如 30 和 45 最大因數都是 15）。但是仔細想一想，必然有一個p，滿足：

\[t = i * p ~~ (p\le i ,p是質數) \]

• \(p\)為什么一定小於等於 \(i\)？因為 \(i\) 是 \(t\) 的最大因數。
• 為什么 \(p\) 一定是質數？因為如果 \(p\) 是合數，那么 \(i\) 就一定不是 \(t\) 的最大因數，因為 \(p\) 可以再拆成若干素數相乘，這些素數再與 \(i\) 相乘會使該因數更大。

既然如此，我們只需要把所有小於 \(i\) 的質數 \(p\) 都挨個乘一次拿到所有合數就好了。可是，這樣就不會有重復標記嘛？

會的，我們一不小心就忘記了最初的條件。我們要滿足 \(i\) 是 \(t\) 的最大因數。如果 \(p\) 大於 \(i\) 的最小質因數，那 \(i\) 還是 \(t\) 的最大因數嘛？顯然不是，任何一個合數 \(t\) 都能唯一分解為有限個質數的乘積，除去這其中最小的質因數，其他的都乘起來就是最大因數 \(i\) 。所以我們不能讓 \(p\) 大於 \(i\) 的最小質因數（設為\(x\)），否則 \(i\) 將不再是 \(t = i*p\) 的最大因數，其最大因數應該是\(i*p/x\) 。

下面有兩個版本，核心處理稍有一點點不同，理解即可。

版本一

• v[i] 表示 i 的最小質因數。如果i就是質數，那么v[i] = i
• prime[j] 表示第 j 個質數。與之前的篩法不同，這個數組是存放質數的，而不是標記質數的

#define MAXN 1000012
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示現在篩出m個質數
void primes(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
		if(v[i]==0)//如果v[i]為0，說明 i 之前沒有被篩到過，i 為質數
		{
			v[i] = i;
             prime[++m] = i;
		}
		for(int j = 1;j<=m;j++)//遍歷小於 i 的所有質數
		{
            //如果質數大於 i 的最小質因數或者乘起來大於n就跳出循環
			if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
			v[i*prime[j]] = prime[j];//標記 i*prime[j] 的最小質因數是prime[j]
		}
	}
}

版本二

• v[i] i 為質數則為0，否則為 1
• prime[j] 與上面相同

#define MAXN 1000000
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示現在篩出m個質數
void primes(int n)
{
    v[1] = 1;//1不是質數，提前處理
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
		if(v[i]==0)//如果v[i]為0，說明 i 之前沒有被篩到過，i 為質數
             prime[++m] = i;
		for(int j = 1;j<=m;j++)//遍歷小於 i 的所有質數
		{
            //乘起來大於就跳出循環
			if(prime[j] > n/i) break;
			v[i*prime[j]] = 1;//標記 i*prime[j] 的最小質因數是prime[j]
             //當遇到最小的質數是i的因數時，break
             if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}