快速求冪：快速冪算法

快速冪，就是快速算底數的n次冪。其時間復雜度為 O(logN)， 與朴素的O(N)相比效率有了極大的提高。

朴素算法

在要求算出一個數字的n次冪時，最容易想到的便是朴素的循環累乘：

int normalPower(int base, int exponent) {
    while (exponent > 0) {
        base *= base;
        --exponent;
    }
    return base;
}

很明顯，這種方法的時間復雜度為O(N);

快速冪算法

根據二進制的性質以及編程語言中方便的與運算符&和移位運算符>>，有人提出了快速冪的算法，其時間復雜度為O(logN)。對這兩個操作符不明白的同學可以先看文末的簡述。
1.快速冪思想
例如計算a^b這樣一個數，我們指數b以轉換二進制的形式進行分解，將其寫成二進制中每一位乘上該位的權重(從右往左，第i位的權為2^i-1)。
例如：a¹³ = a^{2^0+2^2+2^3} = a^{2^0}a^{2^2}a^{2^3}
2.快速冪實現
在這里我們先給出快速冪實現的代碼，方便后續進行對照講解

int fastPower(int base, int exponent) {
    int sum = 1;
    while (exponent != 0) {
        if ((exponent & 1) != 0) {
            sum *= base;
        }
        exponent = expnonent >> 1;  // 對指數進行移位
        base *= base;               // 讓base的次冪以2的倍數增長
    }
    return sum;
}

需要額外注意的是，&操作符的運算符低於>之類的比較運算符，也低於==和!=運算符。
3.快速冪講解
首先可以看到，循環的終止條件為指數e為0，且每次循環e都會右移一位，而自然數N的二進制長度為log₂N，因此這個循環至多遍歷log₂N次。即它的時間復雜度為O(logN)。
我們在每次指數右移的同時，讓底數base=base*base。這樣一來，第一次循環結束后base的大小變為原來的2=2¹次方倍，第二次后變為原來的2¹*2¹=2²次方倍...最終，我們在第n次循環中sum所乘的base總是base^{2^(n-1)}。保證了算法的正確性。而每次base^{2^(n-1)}，總能在下一次的循環中利用到base^{2^n}的計算中，減少了程序的時間消耗與空間消耗。
假設我們輸入了fastPower(bbasese, 13)這樣一個函數，那么按照上面的定義，13應該是被理解為二進制串1101，在每次開始都進行和1相與，為1時才進行sum和bbasese的相乘，聯系上一段話，我們不難推斷出我們能夠按照base¹³ = base^{2^0+2^2+2^3} = base^{2^0}base^{2^2}base^{2^3}的順序計算。

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快速冪預備知識
1.二進制
相信大家都知道二進制的原理，這里我們主要用到十進制與二進制相互轉換的原理。
舉個例子，6的二進制是110，那么6便可以標示成2²+2¹。
2.與運算符&
這是一個二元運算符，返回左右兩數以二進制形式相與后的結果。例如x & 1 == 1則表示x為奇數，x & 1 == 0則為偶數。
3.移位運算符>>
顧名思義，這是令一個數的二進制形式移位的操作符。該操作符指向右邊，因此是右移，例如1011>>1 = 101。相似的，還有左移用的操作符<<，不過這里用不上。